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1、毕 业 设 计（论 文）题目：泰勒公式及其在解题中的应用in 院：理学院专 业：信息与计算科学姓 名：罗书云学 号：08102209指导教师：蔡奇嵘二零一二年六月东华理工大学毕业设计（论文） 摘要摘 要泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，它的理论方法已成为研究函数极限和估计误差等方面的不可或缺的工具，它集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算方面有着得天独厚的优势，利用它可以将复杂问题简单化，可以将非线性问题化为线性问题，并且能满足相当高的精确度要求。它是微积分中值定理的推广，亦是应用高阶导数研究函数性态的重要工具。泰勒公式在微积分的各个领域都有着重要的应用，而且泰勒公式“化繁为简”的功能
2、在数学领域的研究方面也起到了很大的作用。文章除了介绍了带佩亚诺型余项和拉格朗日型余项的泰勒公式在常用的近似计算、求极限、不等式的证明、判断函数极值上作求解证明外，特别地，对泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断、级数和广义积分敛散性判断、行列式计算等问题的应用上做了详细系统的介绍，并且本文讨论了一种新的证明泰勒公式的方法，进一步将泰勒公式推广到更一般的形式。关键词：泰勒公式； 佩亚诺型余项； 拉格朗日型余项； 应用东华理工大学毕业设计（论文） s is an of an of of It an in it a It is of in is an of of in of in of a in in to
3、 in A of in of of of a to to 文） 目录目 录1. 绪论 . 综述 . 泰勒公式的研究背景 . 泰勒公式的研究意义 . 泰勒公式的研究目的 . 本论文所做的工作 . 本论文的基本思路与采用的方法 . 泰勒公式 . 泰勒公式的建立 . 泰勒公式的定义 .带有佩亚诺(余项的泰勒公式 .带有拉格朗日(余项的泰勒公式 . 泰勒公式的新证明及其推广 . 罗尔中值定理的两种推广形式 . 泰勒公式的新证明 . 泰勒公式的推广 . 泰勒公式在解题中的应用 . 利用泰勒公式求近似值 . 利用泰勒公式求极限 . 泰勒公式在判断级数和广义积分的敛散性中的应用 .判断级数的敛散性 .判断广
4、义积分的敛散性 . 泰勒公式在判别函数的极值中的应用 . 泰勒公式在不等式证明中的应用 . 泰勒公式在判断函数凹凸性及拐点中的应用 .判断函数凹凸性 .判别函数拐点 . 泰勒公式在行列式计算方面的应用 .谢 .文） 绪论11. 绪 综述十七世纪中叶，随着近代微积分的蓬勃发展，极限作为数学中的一个概念也就被明确地提了出来。但是最初提出的极限概念是含糊不清的，相关的许多理论常常难以自圆其说，甚至自相矛盾。极限理论的确立使得数学中出现了暂时混乱的局面，直到十九世纪才有了改善，首次给出极限严格定义的是捷克斯洛伐克的数学家贝尔纳波尔查诺，但对他来说有点遗憾的是，他的数学著作多半没有受到他同时代的人的重视
5、，他的许多成果等到后来才被人们重新发现，但是此时功劳已经被别人抢占。1820年，法国著名数学家柯西深度研究了极限定义，并创造性地用极限理论把微积分学中的定理加以严格的全面的证明。但柯西的极限定义中应用了描述性的语言“无限的趋近” “随意小”这些词汇，使得计算不够精确。在这一点上后来德国数学家魏尔斯特拉斯先生给出了精确的“ ”方法，并且获得了圆满的解决。至此，极限概念和极限理论才被完全地确定了下来。由于近代微积分的蓬勃发展以及函数的极限的重要地位，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒、笛卡尔、费马、巴罗、沃利斯等人作出了具有代表性的工作，于是泰勒公式应运而生了。泰勒公式的理论
6、方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算方面有着得天独厚的优势，利用它可以将复杂问题简单化，可以将非线性问题化为线性问题，并且能满足相当高的精确度要求，泰勒公式在微积分的各个领域都有着重要的应用。泰勒公式是18世纪英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的。泰勒将函数展开成级数从而得到了泰勒公式。对于一般函数 ，设它在点 存在直到 阶的导数，由这些导数构成一个)(!1)(!21)()( 00)(200000 称为函数 在点 处的泰勒多项式，若函数 在点 上存在直至 阶的导数，()(0即 )()(!1)(!21)()( 000)(200000 东华理工大学毕业设计（
