电路 第五章 一阶电路分析.ppt

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1、 电路分析5 1 5 4 2005 陆音 动态电路 动态 过渡过程 激励响应VCR为微分方程 响应与激励的全部历史有关动态元件 电感 电容一阶电路 包含一个动态元件的电路 其激励响应关系可用一阶常系数线性微分方程来描述 第五章一阶电路分析 电阻电路 静态 即时 激励响应VCR为代数方程 响应仅由激励引起 与过去和即将出现的激励情况无关 5 1电容元件和电感元件 5 1 1电容元件 定义 如果一个二端元件在任一时刻 其电荷与电压之间的关系由q u平面上一条曲线所确定 则称此二端元件为电容元件 代表积聚电荷 储存电场能的元件 符号和特性曲线 线性电容 特性曲线是通过坐标原点一条直线 否则为非线性电

2、容 时不变 特性曲线不随时间变化 否则为时变电容元件 线性非时变电容元件的数学表达式 系数C为常量 为直线的斜率 称为电容 表征积聚电荷的能力 单位是法 拉 用F表示 电容元件的电压电流关系 电容的电流与其电压对时间的变化率成正比 假如电容的电压保持不变 则电容的电流为零 电容元件相当于开路 i 0 1 电容是动态元件 2 电容是惯性元件 当i有限时 电压变化率必然有限 电压只能连续变化而不能跳变 3 电容是记忆元件 电容电压u有 记忆 电流全部历史的作用 取决于电流的值 1 T0时刻电容的初始电压 2 与t t0后电流作用的结果 电压电流参考方向关联时 电容吸收功率 p可正可负 当p 0时

3、电容吸收功率 吞 储存电场能量增加 当p 0时 电容发出功率 吐 电容放出存储的能量 4 电容是储能元件 任意时刻t得到的总能量为 某时刻电容的储能取决于该时刻电容的电压值 与电流值无关 电压的绝对值增大时 储能增加 减小时 储能减少 当C 0时 w t 不可能为负值 电容不可能放出多于它储存的能量 这说明电容是一种储能元件 上式也可以理解为什么电容电压不能轻易跃变 因为电压的跃变要伴随储能的跃变 在电流有界的情况下 是不可能造成电场能发生跃变和电容电压发生跃变的 例1C 4F 其上电压如图 b 试求iC t pC t 和wC t 并画出波形 解 解 例2C 2F 电流如图 b 初始电压u 0

4、 0 5V 试求时电容电压 并画出波形 5 1 2电感元件 代表建立磁场 储存磁场能的元件 定义 如果一个二端元件在任一时刻 其磁链与电流之间的关系由平面上一条曲线所确定 则称此二端元件为电感元件 线性电感 特性曲线是通过坐标原点一条直线 否则为非线性 非时变 特性曲线不随时间变化 否则为时变电感元件 符号和特性曲线 线性非时变电感元件的数学表达式 系数L为常量 直线的斜率 称为电感 表征产生磁链的能力 单位是亨 利 用H表示 电感元件的电压电流关系 电感的电压与其电流对时间的变化率成正比 假如电感的电流保持不变 则电感的电压为零 电感元件相当于短路 u 0 1 电感是动态元件 2 电感是惯性

5、元件 u有限时 电流变化率必然有限 电流只能连续变化而不能跳变 3 电感是记忆元件 电感电流i有 记忆 电压全部历史的作用 取决于电压的值 1 t0时刻电感的初始电流 2 t t0后电压作用的结果 电压电流参考方向关联时 电感吸收功率 p可正可负 当p 0时 电感吸收功率 吞 储存磁场能量增加 当p 0时 电感发出功率 吐 放出存储的磁场能量 4 电感是储能元件 任意时刻t电感的总能量为 某时刻电感的储能取决于该时刻电感的电流值 与电压值无关 电流的绝对值增大时 储能增加 减小时 储能减少 当L 0时 w t 不可能为负值 电感不可能放出多于它储存的能量 这说明电感是一种储能元件 上式也可以理

6、解为什么电感电流不能轻易跃变 因为电流的跃变要伴随储能的跃变 在电压有界的情况下 是不可能造成磁场能发生跃变和电感电流发生跃变的 例3L 5 H 求电感电压u t 并画出波形图 解 例4L 5mH 求电感电流 并画出波形图 解 当0 t 1s时 u t 10mV 当1s t 2s时 u t 10mV 当2s t 3s时 u t 10mV 根据以上结果 可画出电感电流的波形如图 c 当3s t 4s时 u t 10mV 实际电路中使用的电感线圈类型很多 电感线圈可以用一个电感或一个电感与电阻的串联作为它的电路模型 在工作频率很高的情况下 还需要增加一个电容来构成线圈的电路模型 如下图所示 5 1

7、 3电容器和电感器的模型 电容器除了标明容量外 还须说明它的工作电压 电解电容还须标明极性 漏电很小 工作电压低时 可用一个电容作为它的电路模型 当漏电不能忽略时 需用一个电阻与电容的并联作为电路模型 工作频率很高时 还需要增加一个电感来构成它的电路模型 如下图 电阻 电容和电感是三种最基本的电路元件 它们是用两个电路变量之间的关系来定义的 电压和电流间存在确定关系的元件是电阻元件 电荷和电压间存在确定关系的元件是电容元件 磁链和电流间存在确定关系的元件是电感元件 这些关系从下图可以清楚看到 四个基本变量间定义的另外两个关系是 四个基本电路变量之间的关系图 5 2换路定则及初始值计算 换路 电

8、路元件连接方式或参数的突然改变 换路前瞬间换路后t 0 t 0 uC 0 iL 0 uC 0 iL 0 初始状态 初始值 状态 某时刻 电容电压和电感电流 0 状态 0 状态 瞬态分析 动态分析 分析动态电路从换路开始直至进入稳态全过程的电压及电流的变化规律 分析步骤 1依据电路两类约束 以所求响应为变量 列换路后的微分方程 2找所须初始条件 解微分方程 换路定则 或开闭定理 1 若电容中电流不为无穷大 则电容电压不会跳变 即 uC 0 uC 0 2 若电感中电压不为无穷大 则电感电流不会跳变 即 iL 0 iL 0 说明 1 电路中无全电容回路 C C uS C 或无全电感割集 L L iS

9、 L 2 只适合uC和iL 它们是联系换路前后的唯一纽带 其他变量可能会跳变 实质是电荷守恒 磁链守恒 元件电容电感 数学式uC 0 uC 0 iL 0 iL 0 qC 0 qC 0 L 0 L 0 等效图t 0 t 0 应用条件iC有限uL有限 初始值的计算 1 求换路前初始状态uC 0 及iL 0 2 由换路定则 求uC 0 及iL 0 3 画t 0 时的等效电路 电容用电压等于uC 0 的电压源替代 电感用iL 0 的电流源替代 求待求电压和电流的初始值 例 开关闭合已久 求电容初始值uC 0 解 由于开关闭合已久 由直流电源驱动的电路中 各电压电流均为不随时间变化的恒定值 造成电容电流

10、等于零 电容相当于开路 得t 0 等效图 开关断开时 在电阻R2和R3不为零的情况下 电容电流为有限值 电容电压不能跃变 即 例6开关闭合前电路已稳定 uS 10V R1 30 R2 20 R3 40 求开关闭合时各电压 电流的初始值 解 1 求初始状态uC 0 及iL 0 由于t 0时电路已稳定 电感看作短路 电容看作开路 作t 0 等效图 2 由换路定则 作t 0 等效图 3 求初始值 例7开关打开前电路已稳定 求初始值 解 1 求初始状态uC 0 及iL 0 t 0时电路已稳定 电感看作短路 电容看作开路 作t 0 等效图 2 由换路定则 作t 0 等效图 例8原电路已稳定 uS 10V

11、 R1 2 R2 3 C 0 1F L 0 1H 求开关打开时各电压 电流的初始值 解 1 求初始状态uC 0 及iL 0 电路已稳定 电感看作短路 电容看作开路 作t 0 等效图 可得 2 由换路定则 得 3 作t 0 等效图 4 求初始值 思考 换路时 电容电流 电感电压 电阻电流及电压有无跳变 例9图 a 电路中的开关闭合已久 t 0时断开开关 试求开关转换前和转后瞬间的电容电压和电容电流 解 图 a 电路 t 0 时 电容电压为恒定值 电容电流为0 电容相当于开路 用分压公式得 电阻R1和R2的电流i1 0 i2 0 10 2 5A 开关断开后如图 b 电压源对电容不再起作用 由于t

12、0时刻电容电流有界 电容电压不能跃变 由此得 此时电容电流与电阻R2的电流相同 可得 电容电流由iC 0 0A变化到iC 0 5A 电阻R1的电流由i1 0 5A变化到i1 0 0A 5 3一阶电路的零输入响应 一阶电路 由一阶微分方程描述的电路 零输入响应 没有外加激励时的响应 仅由动态元件初始状态 内激励 引起 开关转换前 电容电压已经达到U0 换路后如图 b 所示 由换路定则得 5 3 1RC电路的零输入响应 电阻和电容的VCR得 代入上式得以下方程 这是一个常系数线性一阶齐次微分方程 其通解为 由KCL得 特征根 称为电路的固有频率 于是电容电压变为 K是一个常量 由初始条件确定 当t

13、 0 时上式变为 根据初始条件 求得 特征方程 各电压电流均以相同的指数规律变化 变化的快慢取决于R和C的乘积 令 RC 具有时间的量纲 故称它为RC电路的时间常数 最后得到图 b 电路的零输入响应为 电压的变化与时间常数的关系 由于波形衰减很快 实际上只要经过4 5 的时间就可认为放电 瞬态 过程基本结束 RC电路零输入响应的波形曲线 有跳变 时间常数在曲线上的意义 切线与横轴焦点 切距 衰减到原来值36 8 所需的时间 电阻在电容放电过程中消耗的总能量 结果表明 电容在放电过程中释放的能量全部转换为电阻消耗的能量 当 RC变大时 电容放电过程会加长 因为增加电容C 就增加电容的初始储能 若

14、增加电阻R 放电电流就减小 反之 时间常数小 则放电快 例10已知uC 0 6V 求t 0的电容电压 解 在开关闭合瞬间 电容电压不能跃变 则 连接于电容两端的电阻等效为 因此 假如还要计算电容中的电流iC t 则 开关连接于1端已很久 电感中的电流等于I0 换路后的电路如图 b 在开关转换瞬间 由于电感电压有界 电感电流不能跃变 即iL 0 iL 0 I0 5 3 2RL电路的零输入响应 列方程 得到以下微分方程 微分方程的通解为 代元件VCR 得 代入初始条件iL 0 I0求得 最后得到电感电流和电感电压为 其中 GL L R 具有时间的量纲 称它为RL电路的时间常数 其波形如下图 结果表

15、明 RL电路零输入响应也是按指数规律衰减 衰减的快慢取决于常数 例11开关S1连1端已很久 t 0时S1倒向2端 开关S2也同时闭合 求t 0时的iL t 和uL t 解 换路瞬间 电感电压有界 电感电流不能跃变 故 图 b 电路的时间常数为 电感电流和电感电压为 一阶电路零输入响应 各电压电流均从其初始值开始 按照指数规律衰减到零 一般表达式为 5 3 3一阶电路零输入响应的一般公式 rzi t 一阶电路任意需求的零输入响应 rzi 0 响应的初始值 时间常数 例12已知iL 0 1 5A L 0 5H 求i1 t 和uL t 解 1 由换路定则 得 2 画0 图 求初始值i1 0 和uL

16、0 网孔法 得 3 求时间常数 先求等效电阻 用加压求流法 消去i1得 所以 4 初始值和时间常数代入下式 得结果 5 4一阶电路的零状态响应 零状态响应 初始状态为零 仅由独立电源 称为外激励或输入 引起的响应 这里仅讨论一阶电路在直流激励下的零状态响应 图示电路中的电容原来未充电 uC 0 0 换路时 由于电容电流有界 电容电压不会跃变 uC 0 uC 0 0 5 4 1RC电路的零状态响应 以电容电压为变量 列微分方程 这是一个常系数线性非齐次一阶微分方程 其解由两部分组成 即 换路后如右图 UCh t 是与齐次微分方程相应的通解 其形式与零输入响应相同 即 uCp t 是非齐次微分方程的特解 一般来说 它的模式与输入函数相同 对于直流激励的电路 它是一个常数 令 将它代入微分方程 求得 因而完全解为 式中的常数A由初始条件确定 得零状态响应为 零状态响应变化的快慢也取决于时间常数 RC 越大 充电过程越长 电容电压的特解与激励形式相同 强制响应分量 直流激励的一阶电路 它就是t 时的电容电压 即UCp t UC 稳态响应分量 通解由激励引起 响应形式与激励无关 反映电路自身特性