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1、 第一章三角形的证明 复习课 主要内容 等腰三角形 直角三角形 线段的垂直平分线 角平分线 复习目标 在回顾与思考中建立本章的知识框架图 复习有关定理的探索与证明 证明的思路和方法 尺规作图等本章复习的重难点 1 等腰三角形 等边三角形的性质和判定 2 线段垂直平分线的做法 角平分线的做法 3 利用直角三角形 线段垂直平分线 角平分线的性质灵活解题 本节课以第2 3两点为主 知识归纳 1 等腰三角形的性质性质 1 等腰三角形的两个底角 性质 2 等腰三角形顶角的 底边上的 底边上的高互相重合 2 等腰三角形的判定 1 定义 有两条边的三角形是等腰三角形 2 等角对等边 有两个角的三角形是等腰三
2、角形 相等 平分线 中线 相等 相等 3 用反证法证明的一般步骤 1 假设命题的结论不成立 2 从这个假设出发 应用正确的推论方法 得出与定义 公理 已证定理或已知条件相矛盾的结果 3 由矛盾的结果判定假设不正确 从而肯定命题的结论正确 4 等边三角形的判定 1 有一个角等于60 的三角形是等边三角形 等腰 2 三边相等的三角形叫做等边三角形 3 三个角相等的三角形是等边三角形 4 有两个角等于60 的三角形是等边三角形 5 直角三角形的性质在直角三角形中 如果一个锐角等于30 那么它所对的直角边等于斜边的 6 勾股定理及其逆定理勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的逆定理 如果三角
3、形两边的平方和等于第三边的平方 那么这个三角形是三角形 一半 平方 直角 1 已知等腰三角形的一个内角为40 则这个等腰三角形的顶角为 A 100 B 40 C 100 或40 D 60 2 等腰三角形的两条边长分别为5cm和6cm 则它的周长是 3 边长为6cm的等边三角形中 其一边上高的长度为 4 下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长 不能构成直角三角形的是 A 3 4 5B 6 8 10C 2 3 4D 5 12 13 比比看谁反应快 7 线段的垂直平分线的性质定理及判定定理性质定理 线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点 在这
4、条线段的上 点拨 线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相等的所有点的集合 相等 垂直平分线 8 三线共点三角形三条边的垂直平分线相交于 并且这一点到三角形三个顶点的距离 9 角平分线的性质定理及判定定理性质定理 角平分线上的点到这个角两边的距离 判定定理 在一个角的内部 且到角的两边相等的点 在这个角的平分线上 相等 相等 距离 一点 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 MN AB CA CB 已知 PA PB 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 1 2 线段的垂直平分线 到一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 AB AC 已知
5、点A在线段BC的垂直平分线上 到一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 尺规作图 已知 线段AB 如图 求作 线段AB的垂直平分线 作法 用尺规作线段的垂直平分线 1 分别以点A和B为圆心 以大于AB 2长为半径作弧 两弧交于点C和D 2 作直线CD 则直线CD就是线段AB的垂直平分线 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 A B O 1 2 P E D C OP平分 AOB PD OA PE OB PD PE 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 角平分线 A B O 1 2 P E D C 在一个角的内部 到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 OP平分 AOB PD
6、 OA PE OB PD PE 在一个角的内部 到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 1 角是轴对称图形 对称轴是角平分线所在的直线 分别以 为圆心 大于 的长为半径作弧 两弧在 AOB的内部交于 2 用尺规作角的平分线的方法 A 作法 以 为圆心 适当长为半径作弧 交 于 交 于 作射线OC 则射线 即为所求 注意 角的平分线是在角的内部的一条射线 所以它的逆定理必须加上 在角的内部 这个条件 10 三角形三条角平分线的性质三角形的三条角平分线相交于一点 并且这一点到三条边的距离 相等 1 如图 AD平分 BAC 已知 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BDCD 判断 2 如图
7、 DC AC DB AB 已知 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BDCD 1 如图1 2 点D在BC上 DE AB DF AC 且DE DF 则线段AD是 ABC的 A 垂直平分线B 角平分线C 高D 中线 巩固提高 B 2 如图 在 ABC中 C 90 BAC的平分线交BC于点D 若CD 4 则点D到AB的距离是 3 若点P是 ABC内一点 PD AB于D PE BC于E PF AC于F 且PD PE PF 则点P是 ABC的 A 三条高的交点B 三条中线的交点C 三条角平分线的交点D 三条中垂线的交点 C 7 在平面内 到A B C三点距离相等的点有 A 只有一个B 有两个C
8、有三个或三个以上D 有一个或没有 D 4 如图S1 1 在 ABC中 DE垂直平分AC交AB于E A 30 ACB 80 则 BCE 50 2 如图 在Rt ABC中 有 ABC 90 DE是AC的垂直平分线 交AC于点D 交BC于点E BAE 20 则 C 5 如图S1 11 在Rt ABC中 C 90 B 15 DE是AB的中垂线 垂足为D 交BC于点E 若BE 4 则AC 图S1 11 23 本题9分 如图 在 ABC中 AB AC AB的垂直平分线MN交AC于点D 交AB于点E 1 求证 ABD是等腰三角形 2 若 A 40 求 DBC的度数 3 若AE 6 CBD的周长为20 求 A
9、BC的周长 4 已知 ABC中 C 900 AD平分 CAB 且AB 8 AC BC DE AB 求 BDE的周长 A B C D E 思考 8 小明家有一块 ABC的土地 如图S1 12所示 其三边长AB 70米 BC 90米 AC 50米 现要把 ABC分成面积比为5 7 9的三部分 分别种植不同的农作物 请你设计一种方案 图S1 12 解 如图S1 13所示 分别作 ACB和 ABC的平分线 相交于点D 连接AD 则S ADC S ADB S BDC 5 7 9 图S1 13 24 本题6分 某私营企业要修建一个加油站 如图 其设计要求是 加油站到两村A B的距离必须相等 且到两条公路m n的距离也必须相等 那么加油站应修在什么位置 在图上标出它的位置 写出必要的作图依据 保留作图痕迹 结束寄语 数学是在混沌中发现有序 证明的规范性在于 条理清晰 因果相应 言必有据 这是初学证明者谨记和遵循的原则
