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1、2017年09月23日数学的高中数学组卷一解答题（共41小题）1（理科）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=，D，E分别是AB，BB1的中点，且AC=BC=AA1=2（1）求直线BC1与A1D所成角的大小；（2）求直线A1E与平面A1CD所成角的正弦值2如图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图（）若F为PD的中点，求证：AF面PCD；（）证明BD面PEC；（）求面PEC与面PCD所成的二面角（锐角）的余弦值3如图，PCBM是直角梯形，PCB=90，PMBC，PM=1，BC=2，又AC=1，ACB=120，ABPC，直线AM与直线PC所成的角为60（1）求证：平面PAC平面ABC
2、；（2）求二面角MACB的平面角的余弦值4如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点PO=，AB=2求证：（1）PA平面BDE；（2）平面PAC平面BDE；（3）求二面角EBDA的大小5如图，在四棱锥PABCD中，侧面PCD底面ABCD，PDCD，E为PC的中点，底面ABCD是直角梯形，ABCD，ADC=90，AB=AD=PD=1，CD=2（1）求证：BE平面PAD；（2）求证：平面PBC平面PBD；（3）设Q为棱PC上一点，=，试确定的值使得二面角QBDP为456在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且，H
3、为C1G的中点，应用空间向量方法求解下列问题（1）求证：EFB1C；（2）求EF与C1G所成的角的余弦；（3）求FH的长7如图，在棱长为1的正方体AC1中，E、F分别为A1D1和A1B1的中点（1）求异面直线AF和BE所成的角的余弦值：（2）求平面ACC1与平面BFC1所成的锐二面角：（3）若点P在正方形ABCD内部或其边界上，且EP平面BFC1，求EP的取值范围8已知菱形ABDC的边长为2，对角线AC与BD交于点O，且ABC=120，M为BC的中点将此菱形沿对角线BD折成直二面角ABDC（I）求证：ACBD；（II）求直线AM与面AOC所成角的余弦值大小9用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，则截
4、面与底面之间的部分叫棱台如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，下底ABCD是边长为2的正方形，上底A1B1C1D1是边长为1的正方形，侧棱DD1平面ABCD，DD1=2（）求证：B1B平面D1AC；（II）求平面B1AD1与平面CAD1夹角的余弦值10如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA底面ABCD，PA=AD=1，E、F分别为PD、AC的中点（）求证：EF平面PAB；（）求直线EF与平面ABE所成角的大小11如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，AFD=90，且二面角DAFE与二面角CBEF都是60（）证明平面ABE
5、F平面EFDC；（）求二面角EBCA的余弦值12如图，已知四棱台ABCDA1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上（1）若P是DD1的中点，证明：AB1PQ；（2）若PQ平面ABB1A1，二面角PQDA的余弦值为，求四面体ADPQ的体积13如图1，四面体ABCD及其三视图（如图2所示），过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H（）证明：四边形EFGH是矩形；（）求直线AB与平面EFGH夹角的正弦值14如图，四棱锥PABCD，底面是以O为中心的菱形，PO底面ABCD，AB=
6、2，BAD=，M为BC上的一点，且BM=，MPAP（）求PO的长；（）求二面角APMC的正弦值15如图，在多面体ABCDM中，BCD是等边三角形，CMD是等腰直角三角形，CMD=90，平面CMD平面BCD，AB平面BCD（）求证：CDAM；（）若AM=BC=2，求直线AM与平面BDM所成角的正弦值16如图所示的多面体中，ABCD是平行四边形，BDEF是矩形，ED面ABCD，ABD=，AB=2AD（）求证：平面BDEF平面ADE；（）若ED=BD，求AF与平面AEC所成角的正弦值17在三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB，侧面ABB1A1是边长为2的正方形，点E，F分别在线段AA1、A1B1上
7、，且AE=，A1F=，CEEF（）证明：平面ABB1A1平面ABC；（）若CACB，求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值18如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SD底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，ABM=60（）证明：M是侧棱SC的中点；（）求二面角SAMB的余弦值19如图，在四棱锥PABCD中，ABC为正三角形，ABAD，ACCD，PA=AC，PA平面ABCD（1）若E为棱PC的中点，求证PD平面ABE；（2）若AB=3，求点B到平面PCD的距离20已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA平面ABCD，E，F分别是线段AB，
8、BC的中点（1）证明：PFFD；（2）若PA=1，求点E到平面PFD的距离21如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABC是等边三角形，BC=CC1=4，D是A1C1中点（）求证：A1B平面B1CD；（）当三棱锥CB1C1D体积最大时，求点B到平面B1CD的距离22如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，SA底面ABCD，SA=AB=2，点M是SD的中点，ANSC，且交SC于点N（） 求证：SB平面ACM； （） 求点C到平面AMN的距离23如图：将直角三角形PAO，绕直角边PO旋转构成圆锥，ABCD是O的内接矩形，M为是母线PA的中点，PA=2AO（1）求证：PC面MBD；（2）当A
9、M=CD=2时，求点B到平面MCD的距离24如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD为菱形，且ABC=60，AB=PC=2，PA=PB=（）求证：平面PAB平面ABCD；（）求点D到平面APC的距离25如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，BAA1=60（）证明：ABA1C；（）若AB=CB=2，A1C=，求二面角BACA1的余弦值26如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，BAD=60，Q为AD的中点，PA=PD=AD=2（）求证：AD平面PQB；（）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA平面MQB；（）若PA平面MQB，平面PAD平面ABCD，求
10、二面角MBQC的大小27在如图所示的多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，底面ABFE为直角梯形，ABF为直角，平面ABCD平面ABFE（1）求证：DBEC；（2）若AE=AB，求二面角CEFB的余弦值28如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是边长为2的等边三角形，过A1C作平面A1CD平行于BC1，交AB于D点（1）求证：CDAB；（2）若四边形BCC1B1是正方形，且，求二面角DA1CB1的余弦值29如图，三棱柱ABCA1B1C1中，D为AA1的中点，E为BC的中点（1）求证：直线AE平面BDC1；（2）若三棱柱 ABCA1B1C1是正三棱柱，AB=2，AA1=4，求平面
11、BDC1与平面ABC所成二面角的正弦值30如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面A1BC侧面ABB1A1，且AA1=AB=2（1）求证：ABBC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，请问在线段A1C上是否存在点E，使得二面角ABEC的大小为，请说明理由31如图，以正四棱锥VABCD的底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz，其中OxBC，OyAB，E为VC中点，正四棱锥的底面边长为2a，高为h，且有cos，=（1）求的值；（2）求二面角BVCD的余弦值32如图，斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是直角三角形，ACB=90，点B1在底面内的射影恰好是BC的中点，且BC=CA=2（1
12、）求证：平面ACC1A1平面B1C1CB；（2）若二面角BAB1C1的余弦值为，求斜三棱柱ABCA1B1C1的高33如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是边长为2的正三角形，AB=BD=，PB=3（1）求证：平面PAD平面ABCD；（2）设Q是棱PC上的点，当PA平面BDQ时，求二面角ABDQ的余弦值34如图，在几何体A1B1C1ABC中，ACB=90，AC=BC=2，AA1平面ABC，AA1BB1CC1，BB1：CC1：AA1=3：2：1，且AA1=1（）求证：平面A1B1C1平面A1ABB1；（）求平面ABC与平面A1BC1所成锐角的余弦值35在如图所示的四棱锥SA
13、BCD中，SA底面ABCD，DAB=ABC=90，SA=AB=BC=a，AD=3a（a0），E为线段BS上的一个动点（1）证明：DE和SC不可能垂直；（2）当点E为线段BS的三等分点（靠近B）时，求二面角SCDE的余弦值36如图，PA平面AC，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点（）求证：AF平面PCE；（）若二面角PCDB为45，AD=2，CD=3，求点F到平面PCE的距离37如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，ACC1=CC1B1=60，AC=2（1）求证：AB1CC1；（2）若AB1=3，A1C1的中点为D1，求二面角CAB1D1
14、的余弦值38如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD是菱形；PA平面ABCD，PA=AD=AC，点F为PC的中点（）求证：PA平面BFD；（）求二面角CBFD的余弦值39如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120得到的，G是的中点（）设P是上的一点，且APBE，求CBP的大小；（）当AB=3，AD=2，求二面角EAGC的大小40在如图所示的几何体中，四边形BB1C1C是矩形，BB1平面ABC，A1B1AB，AB=2A1B1，E是AC的中点（1）求证：A1E平面BB1C1C；（2）若AC=BC=2，AB=2BB1=2，求二面角ABA1E的余弦值41如图，三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABC=90，PA=AC=2，D是PA的中点，E是CD的中点，点F在PB上，（1）证明：EF平面ABC；（2
