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1、谭泽光 1 第 7 讲 多元函数微分学 第 7 讲 多元函数微分学 一一 考纲要求考纲要求 考试内容考试内容 1 多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限和连续 的概念 有界闭区域上多元连续函数的性质 2 多元函数偏导数和全微分 全微分存在的必要条件和充分条件 3 多元复合函数 隐函数的求导法 二阶偏导数 考试要求考试要求 1 理解多元函数的概念 理解二元函数的几何意义 2 了解二元函数的极限与连续性的概念 有界闭区域上连续函数的性质 3 理解多元函数偏导数和全微分的概念 会求全微分 了解全微分存在 的必要条件和充分条件 了解全微分形式的不变性 4 掌握多元复合函数一阶 二阶偏导数的
2、求法 5 了解隐函数存在定理 会求多元隐函数的偏导数 二 内容提要 二 内容提要 多元函数微积分的八大概念 多元函数微积分的八大概念 八大概念 一个公式 两方面应用 八大概念 一个公式 两方面应用 一 多元函数 二 多元极限 四偏导数 五微分 积分 六重积分 七曲线积分 八曲面积分 三连续 谭泽光 2 1 1 多元函数概念 区域的概念 定义域的表示 多元函数 n fRR 1 n uf xf xx 向量函数 nm FRR 函数的表示 显式 zf x yuf x y z 隐式 0 f x yyy x 0 f x y zzz x y 参数式 xx u v yy u vzz x y zz u v 2
3、多元函数的极限及连续 与一元函数的不同之处 3 多元函数的可微性 4 偏导与微分的计算 复合函数导数公式 隐函数求导 三 典型例题 三 典型例题 1 极限与连续性等概念问题极限与连续性等概念问题 例1 例1 若 sin 0 0 x y x f x y x yx 求 0 0 lim x y f x y 解 令xyu ay u u x xy ayu ay x lim sin lim sin lim 00 严格一点 新定义 sin 0 0 0 0 xxyxyx y f x yy yx 例2 例2 求 22 0 0 lim yx xxy y x 解1 设 sin cos 22 yxyx 2 2200
4、0 sincoscos limlim x y yx x xy 0 lim sincoscos 0 谭泽光 3 解2 2 2222 2 0 xxyyx x xyxy 222 22 xxy xy 22 22 22 2 2 xy xy xy 解3 2222 02 xyyx x xx xyxy 注 注 22 12 xy xy 例3 例3 求 2 22 lim x y x yx xy 解 2 1 22 yx xy 0lim 2 22 x y x yx xy 例4 例4 求 yx x ay x x 2 1 1lim 解 e xx yx x x ay x yx x ay x 1 1lim 1 1lim 2
5、例5 例5 22 2 0 0 lim yx yx y x A 0 A 2 1 B 1 C 不存在 D 解 2 0 2222 2 00 22 x x y xxyx xyxy 例6 例6 极限不存在的例题 22 0 0 lim yx xy yx 解 沿不同的路径 极限不同 例7 例7 2 2 0 xyif xyf yxf i1 研究 lim 0 0 yxf y x 的存在性 解 显然有 当 yx沿x轴或者y轴趋向于原点 0 0 时 谭泽光 4 yxf趋向于零 而且当 yx沿从原点出发的 任意一条射线趋向于原点时 都有 yxf趋向于零 即 0 lim 0 tbtafRba t 但是 当 yx沿抛物线
6、 0 2 xxy从原点趋向于原点时 有 011lim lim 0 2 0 xx xxf 证明了极限 lim 0 0 yxf y x 不存在 注 多元函数的极限问题要比一元函数的情形复杂得多 必须要考察 动点 yx以各种不同方式趋向于定点 00 yx 时 函数的变化趋势 例例8 95 二元函数 22 22 22 0 0 0 xy xy xyf x y xy 在 0 0 A 连续且偏导数存在 B 不连续但偏导数存在 C 连续但偏导数不存在 D 不连续且偏导数不存在 解 答案为 B 2 222 00 lim lim 1 1 xx y kx kxk f x y kxk 与k有关 因此二重极限 lim
7、0 0 yxf yx 不存在 yxf在 0 0 不连续 0 00 lim 0 0 0 lim 0 0 00 xx fxf f xx x 0 00 lim 0 0 lim 0 0 00 yy fyxf f yy y 选项 B 正确 谭泽光 5 例例 9 96 设 00 yx是函数 yxf定义域内的一点 则下列命题中 一定正确的是 A 若 yxf在 00 yx可导 则 yxf在 00 yx连续 B 若 yxf在 00 yx可微 则 yxf在 00 yx连续 C 若 yxf在 00 yx可导 则 yxf在 00 yx可微 D 若 yxf在 00 yx可微与 yxf在 00 yx可导等价 解 A 不对
8、 例如 22 22 22 0 00 xy xy xyf x y xy 在 0 0 点 可导 两个偏导数都存在 但 yxf在 0 0 不连续 B 正确 C 不对 例如 22 22 22 0 00 xy xy xyf x y xy 在 0 0 可导 但 yxf在 0 0 不连续 因此 yxf在 0 0 不可微 因为函数若在一 点可微 必然在该点连续 D 不对 故选项 B 正确 注 本题考察二元函数在一点的连续性 可导性 即偏导数存在性 Axf xx lim 0 存在 xf 在 0 x 点偏导连续 xf 在 0 x 点可微 xf 在 0 x 点 偏 导数存在 xf 在 0 x 点连 谭泽光 6 可微
9、性之间的关系 在一元函数中 题中的四个命题全是正确的 可 在多元函数中却不是 这正是一元函数与多元函数的本质区别 例 10 例 10 设xyyxf 则在 0 0 点 B A 连续 但偏导数不存在 B 偏导数存在 但不可微 C 可微 D 偏导数存在且连续 解题思路 xyyxf 在 0 0 的两个偏导数都等于零 如果 xyyxf 在 0 0 可微 则0 0 0 df 从而 yxdfyxf 但它不是 22 yx 的高阶无穷小 例例 11 100 设 22 22 22 0 0 0 x y xy f x y xy xy zf t t 则 A 0 0 0d f B 0 0 t dz C 0 1 2 t d
10、z D 0 1 2 t dzdt 解 答案为 D A 因 0 0 0df 0 0 0 0 fdfoo 220 0 0 0 lim0 x y fxyf xy 因此 0 0 0df 220 0 0 0 lim0 x y fxyf xy 是否有成立 今 22 2200 00 0 0 limlim xx xy xyfxyf xy xy 22 0 0 lim x y x y xy 因为 222 2 0 22 0 1 1 limlim k k xk xk yx yx x kxy x 与k有关 极限不存在 因此 yxfz 在 0 0 不可微 A 不对 值得注意的是 0 00 lim 0 0 0 lim 0
11、0 00 xx fxf f xx x 0 00 lim 0 0 0 lim 0 0 00 yy fyf f yy y 谭泽光 7 由 2 0 20 0 ttt z tf t t t 1 2 dz t dt 故 D 正确 注 本题中 zf x y 在 0 0 不可微 因此不能用链式法则来求 0t dz dt 若用链式法则求 0t dz dt 则会导致 0 0 0 0 0 0 txy dz ff dt 这显然是错误的 例例 12 98 设 yxf在 0 0 的某个邻域内有定义 且3 0 0 x f 1 0 0 y f 则下面结论中正确的是 A dydxdz 3 0 0 B 曲面 yxfz 在点 0
12、 0 0 0 f处的法向量为 1 1 3 C 曲线 0 y yxfz 在点 0 0 0 0 f处的切向量为 3 0 1 T D 曲线 0 y yxfz 在点 0 0 0 0 f处的切向量为 1 0 3 T 解 答案为 C A 不对 因为题中条件只给了偏导数存在性 不能保证 yxfz 在 0 0 处可微 B 不对 不能保证 yxfz 在 0 0 可微 也就保证不了曲线 yxfz 在 0 0 0 0 f处切平面的存在 C 曲线 0 y yxfz 的参数方程可以理解为0 0 xx y zf x 该曲线在 0 0 0 0 f 处的切向量为 1 0 0 0 1 0 3 x Tf 故 C 是正确的 D 不
13、对 例例 13 97 yxf在 0 0 的某个邻域内定义且 yxf在 0 0 连续 2 22 0 0 lim1 x y f x yx xy 则下列结论中正确的是 B A 0 0 是 yxf的极大值点 B 0 0 是 yxf的极小值点 谭泽光 8 C 0 0 不是 yxf的极值点 D 无法断定 0 0 是否为 yxf的极值点 解 解 1 首先 2 22 0 0 lim1 x y f x yx xy 2 0 0 lim 0 x y f x yx 2 0 0 0 0 lim lim0 x yx y f x yx 由于 yxf在 0 0 连续 所以 0 0 0 0 lim 0 x y ff x y 其
14、次 2 22 0 0 lim10 x y f x yx xy 故存在某个 0 0 的邻域 在该邻域 0 22 2 yx xyxf 2 0f x yx 2 0f x yx 2 0 0 0 f x yxf 0 0 是 0 0 0f 的极小值点 解 解 2 2 22 0 0 lim1 x y f x yx xy 2 22 1 1 f x yx o xy 22222 f x yxxyo xy 2222 2 f x yxyo xy 因对任意给定的 0 0 x y 考察 tt x yt x t y 0t 时 2222 2 tt f xyxyto t 22 2 0 lim20 tt t f xy xy t
15、0 0 是 0 0 0f 的极小点 注 本题考察极值点的定义以及二元函数极限的性质 例例 14 设 yxyxyxf 其中 yx 在 0 0 点连续 证明 f x y在 0 0 点可微 解 解 0 0 0 0 yxyxfyxff 因为 yx 在 0 0 处连续 即 0 0 lim 0 yx 0 0 1 xyo 0 0 0 0 0 0 1 fxyoxy 而 谭泽光 9 222200 00 0 0 0 0 0 0 1 limlim0 xx yy fxyoxy xyxy f x y 在 0 0 点处可微 dydxyxdf 0 0 0 0 0 0 这样做是不对的 这样做是不对的 xy df x yx y
16、xyx ydxx yxyx ydy 令0 0 yx 0 0 0 0 dydxdf 注 注 从本题看出 两个不可微函数之积有可能是可微的 更一般的结论是结论是 若 g x y在 0 0 可微 h x y在 0 0 连续 0 0 0g 则fg h 在 0 0 可微 证明 证明 0 0 0 0 0 0 fgxyhxygh 0 0 0 0 0 0 0 0 gxyhxyghxyghxygh 0 0 0 0 0 0 hxyggh 0 0 0 0 gg hxyxyo xy 0 0 0 0 0 0 1 gg hoxyo xy 0 0 0 0 0 gg hxyo xy 例例 15 函数 yxyxyxf 其中 yx 在 0 0 点附近有 定义 当 yx 满足什么条件时 yxf在 0 0 点 连续 2 偏导数存在 3 可微 解 解 因为因为 0 0 fxyxy 当0 0 0 f 且 yx 在 0 0 点附近有界时 00 lim 0 0 lim 0fxyxy yxf在 0 0 连续 当 yx 在 0 0 点连续 且0 0 0 时 谭泽光 10 0 0 fxyxy 0 0 1 xyo 1 xy oo 0 00d
