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1、高一数学求函数的定义域与值域的常用方法北师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：求函数的定义域与值域的常用方法求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值二. 学习目标1、进一步理解函数的定义域与值域的概念；2、会应用代换、方程思想求简单的函数解析式；3、会求基本初等函数、简单的复合函数及含参变量函数的定义域、值域和最值；4、会将求函数值域问题化归为求函数的最值问题，重视函数单调性在确定函数最值中的作用；5、会求实际问题中的函数解析式、定义域、值域和最值问题；6、会用集合、区间或不等式表示函数的定义域和值域。三. 知识要点（一）求函数的解析式1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一
2、种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是yf（x），不能把它写成f（x，y）0；2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形；3、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数fg（x）的表达式，求f（x）的表达式时可以令tg（x），以换元法解之；（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（x），
3、或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（x）（或f（1/x）即可求出f（x）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解
4、析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数yfg（x）的定义域的求解，应先由yf（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出yg（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；（三）求函数的值域1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集
5、合或区间来表示；2、在函数f：AB中，集合B未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为C，则C是B的子集；若CB，那么该函数作为映射我们称为“满射”；3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结；（四）求函数的最值1、设函数yf（x）定义域为A，则当xA时总有f（x）f（xo）M，则称当xxo时f（x）取最大值M；当xA时总有f（x）f（x1）N，则称当xx1时f（x）取最小值N；2、求函数的最值问题可
6、以化归为求函数的值域问题；3、闭区间的连续函数必有最值。【典型例题】考点一：求函数解析式1、直接法：由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。例1. 已知函数yf（x）满足xy0，4x29y236，求该函数解析式。解：由4x29y236可解得：。说明：这是一个分段函数，必须分区间写解析式，不可以写成的形式。2、待定系数法：由题给条件可以明确函数的类型，从而可以设出该类型的函数的一般式，然后再求出各个参变量的值。例2. 已知在一定条件下，某段河流的水流量y与该段河流的平均深度x成反比，又测得该段河流某段平均水深为2m时，水流量为340m3/s，试求该段河流水流量与平均深度的函数关系式。解：设，
7、代入x，y的值可求得反比例系数k780m3/s，故所求函数关系式为。3、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。例3. 已知，试求。解：设，则，代入条件式可得：，t1。故得：。说明：要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。4、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求解。例4. （1）已知，试求；（2）已知，试求；解：（1）由条件式，以代x，则得，与条件式联立，消去，则得：。（2）由条件式，以x代x则得：，与条件式联立，消去，则得：。说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求
8、函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。5、实际问题中的函数解析式：这是高考的一个热点题型，一般难度不大，所涉及知识点也不多，关键是合理设置变量，建立等量关系。例5. 动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点B出发，顺次经过C、D再到A停止。设x表示P行驶的路程，y表示PA的长，求y关于x的函数。解：由题意知：当x0，1时：yx；当x（1，2）时：；当x（2，3）时：；故综上所述，有考点二：求函数定义域1、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围，所以解题时要认真分析变量所在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。例6. 求的定义域。解：由题意知：，从
9、而解得：x2且x4.故所求定义域为：x|x2且x4。2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集。例7. 已知函数由下表给出，求其定义域X123456Y2231435617解：1，2，3，4，5，6。3、求与复合函数有关的定义域：由外函数f（u）的定义域可以确定内函数g（x）的范围，从而解得xI1，又由g（x）定义域可以解得xI2.则I1I2即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求解。解：又由于x24x30 *联立*、*两式可解得：例9. 若函数f（2x）的定义域是1，1，求f（log2x）的定义域。解：由f（2x）的定义域是1，1可知：212x2，所以f（x）的定义域为21，2
10、，故log2x21，2，解得，故定义域为。4、求解含参数的函数的定义域：一般地，须对参数进行分类讨论，所求定义域随参数取值的不同而不同。例10. 求函数的定义域。解：若，则xR；若，则；若，则；故所求函数的定义域：当时为R，当时为，当时为。说明：此处求定义域是对参变量a进行分类讨论，最后叙述结论时不可将分类讨论的结果写成并集的形式，必须根据a的不同取值范围分别论述。考点三：求函数的值域与最值求函数的值域和最值的方法十分丰富，下面通过例题来探究一些常用的方法；随着高中学习的深入，我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。1、分离变量法例11. 求函数的值域。解：，因为，故y2，所以值域为y|y2
11、。说明：这是一个分式函数，分子、分母均含有自变量x，可通过等价变形，让变量只出现在分母中，再行求解。2、配方法例12. 求函数y2x24x的值域。解：y2x24x2（x22x1）22（x1）222，故值域为y|y2。说明：这是一个二次函数，可通过配方的方法来求得函数的值域。类似的，对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解，如yaf2（x）bf（x）c。3、判别式法例13. 求函数的值域。解：可变形为：（4y1）x2（5y2）x6y30，由0可解得：。说明：对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解，可以考虑采用此法。要注意两点：第一，其定义域一般仅由函数式确定，题中条件不再另外给出
12、；如果题中条件另外给出了定义域，那么一般情况下就不能用此法求解值域；第二，用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集，所以将原函数变形为一个关于x的一元二次方程后，该方程的解集就是原函数的定义域，故0。4、单调性法例14. 求函数，x4，5的值域。解：由于函数为增函数，故当x4时，ymin；当x5时，ymax，所以函数的值域为。5、换元法例15. 求函数的值域。解：令，则y2t24t2（t1）24，t0，故所求值域为y|y4。6、分段函数的值域：应为各区间段上值域的并集。例16. 求函数的值域。解：当x1，2时，y1，2；当x2，3时，y4，9；当x3，4时，y5，7。综上所述，
13、y1，23，9。本讲所涉及的主要数学思想方法1、分类讨论的数学思想：对含有参变量的函数定义域、值域及最值的求解，一般情况下都要对参变量进行分类讨论，在参变量不同的取值范围内进行求解。要特别注意对结果的表述。2、换元的思想：对复合函数定义域、值域及最值的求解，以及对某些无理函数（根号中含有自变量的函数）的处理，通常可以考虑换元，以达到化繁为简的目的。3、方程的思想：对某些函数解析式的求解，以及某些函数值的求解，均渗透了方程的思想，主要思路是改变原来的变量之间的角色，重新确定主元，依此主元构造方程进行求解。【模拟试题】(答题时间：30分钟)一. 选择题1、函数yf（x）的值域是2，2，则函数yf（
14、x1）的值域是（ ）A. 1，3 B. 3，1 C. 2，2 D. 1，12、已知函数f（x）x22x，则函数f（x）在区间2，2上的最大值为（ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 83、一等腰三角形的周长为20，底边长y是关于腰长x的函数，那么其解析式和定义域是（ ）A. y202x（x10） B. y202x（x10）C. y202x（4x10） D. y202x（5x10）4、二次函数yx24x4的定义域为a，b（ab），值域也是a，b，则区间a，b是（ ）A. 0，4 B. 1，4 C. 1，3 D. 3，45、函数yf（x2）的定义域是3，4，则函数yf（x5）的定义域是（ ）A. 0，1 B. 3，4 C. 5，6 D. 6，76、函数的值域是（ ）7、（2007安徽）图中的图像所表示的函数的解析式是（ ）二. 填空题8、若f（x）（xa）3对任意xR都有f（1x）f（1x），则f（2）f（2） ；9、若函数的值域为，则其定义域为 ；三. 解
