《中考冲刺 数学 提分攻略--第17讲 等腰三角形与直角三角形》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考冲刺 数学 提分攻略--第17讲 等腰三角形与直角三角形（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第17讲 等腰三角形与直角三角形【试试火力】1. （2017毕节）如图，RtABC中，ACB=90，斜边AB=9，D为AB的中点，F为CD上一点，且CF=CD，过点B作BEDC交AF的延长线于点E，则BE的长为（）A6 B4 C7 D12 2. （2017益阳）如图，ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，CD是AB边上的中线则CD=6.53. （2017四川眉山）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学九章算术中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（）A1.25尺B57.5尺C6.25尺D56.5尺4. （2017宁夏
2、）在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点 P分别作 PMA B，PNAC，M、N分别为垂足（1）求证：不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；（2）当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大，并求出最大值5. （2017哈尔滨）已知：ACB和DCE都是等腰直角三角形，ACB=DCE=90，连接AE，BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N（1）如图1，求证：AE=BD；（2）如图2，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形【把握火苗】火点1 等腰三角形与等边三角形等腰三角形概念有两条边 的
3、三角形是等腰三角形.性质1.等腰三角形是轴对称图形，一般有 条对称轴.2.性质1：等腰三角形的两底角 (简写成“等边对 ”).3.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的 、底边上的 相互重合(简写成“三线合一”).判定等角对 .等边三角形概念有 条边相等的三角形叫做等边三角形.性质1.具有一般等腰三角形的所有性质；2.等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于 ；3.等边三角形是轴对称图形，共有 条对称轴.判定1.三个角都 的三角形是等边三角形；2.有一个角是 的等腰三角形是等边三角形.概念有一个角是 的三角形叫做直角三角形.性质1.直角三角形的两个锐角 .2.直角三角形斜边上的中线等于斜边
4、的 .3.在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的 .4.勾股定理：在直角三角形中，两条直角边a、b的 等于斜边c的 ，即 =c2.判定1.有一个角是 或两个锐角 的三角形是直角三角形.2.如果三角形一边上的中线等于这条边的 ，那么这个三角形为直角三角形.3.勾股定理的逆定理：如果三角形的两边的 等于第三边的 ，那么这个三角形是直角三角形.火点2 直角三角形【易错提示】勾股定理应用的前提是这个三角形必须是直角三角形，解题时，只能在同一直角三角形时，才能利用它求第三边长.【掌握火候】 1.求等腰三角形腰上的高，在所给条件不确定的条件下，应按顶角为锐角和钝角两种情况来考虑
5、：(1)当顶角为锐角时，腰上的高在三角形内部；(2)当顶角为钝角时，腰上的高在三角形外部. 2.勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否是直角三角形的重要方法，应先确定最大边，然后验证两条短边的平方和是否等于最大边的平方.【突破火点】燃点1 等腰三角形的性质与判定例1 （2017内江）如图，AD平分BAC，ADBD，垂足为点D，DEAC求证：BDE是等腰三角形【考点】KI：等腰三角形的判定；JA：平行线的性质【分析】直接利用平行线的性质得出1=3，进而利用角平分线的定义结合互余的性质得出B=BDE，即可得出答案【解答】证明：DEAC，1=3，AD平分BAC，1=2，2=3，ADBD，2+B=90，
6、3+BDE=90，B=BDE，BDE是等腰三角形方法归纳：解答本题的关键是正确理解等腰三角形三线合一的内涵由一推二.燃点2 直角三角形例2如图，在ABC中，ABAC，ADBC，垂足为D，E是AC中点，若DE5，求AB的长.【思路点拨】因为DE是直角三角形的中线，利用直角三角形的性质可以求出AC的长，从而求出AB的长.【解答】ADBC，E是AC中点，DE5，AC=2DE=10.AB=AC，AB=10.方法归纳：若题中已知直角三角形的中线长时，通常利用直角三角形的性质来求边长.燃点3 勾股定理例3 （2017湖北荆州）九章算术中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺问折高者几何？意思
7、是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（）Ax26=（10x）2Bx262=（10x）2Cx2+6=（10x）2Dx2+62=（10x）2【考点】KU：勾股定理的应用【分析】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可【解答】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB=10x，BC=6，在RtABC中，AC2+BC2=AB2，即x2+62=（10x）2故选D方法归纳：利用勾股定理解决实际问题的前提条件是有直角三角形，作垂线构造直角三角形是
8、解决这类问题的关键.【冰火不容】1. （2017宁德）如图，在ABC中，AB=AC，点D，E分别在边BC 和AC上，若AD=AE，则下列结论错误的是（）AADB=ACB+CADBADE=AEDCCDE=BADDAED=2ECD2. （2017山东滨州）如图，在ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，BD=BA，则B的大小为（）A40B36C30D253. （2017年江苏扬州）如图，把等边A BC沿着D E折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且DPBC，若BP=4cm，则EC=（2+2）cm4. （2017浙江湖州）如图，已知在RtABC中，C=90，AC=BC，AB=6，点P是
9、RtABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（）A1BCD25. （2017广西河池）已知等边ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DEAC于点E，过E作EFBC于点F，过F作FGAB于点G当G与D重合时，AD的长是（）A3B4C8D96. （2017温州）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH已知AM为RtABM较长直角边，AM=22EF，则正方形ABCD的面积为（）A12SB10SC9SD8S7. （2017浙江义乌）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离
10、地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（）A0.7米B1.5米C2.2米D2.4米8. （2017黑龙江佳木斯）如图，在ABC中，AB=BC=8，AO=BO，点M是射线CO上的一个动点，AOC=60，则当ABM为直角三角形时，AM的长为4或4或49. （2017齐齐哈尔）如图，在ABC中，ADBC于D，BD=AD，DG=DC，E，F分别是BG，AC的中点（1）求证：DE=DF，DEDF；（2）连接EF，若AC=10，求EF的长10. （2017乐山）在四边形ABCD中，B+D=180，对角线AC平分BAD（1）如图1，若DAB=120，且B
11、=90，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由（2）如图2，若将（1）中的条件“B=90”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由（3）如图3，若DAB=90，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由【展示火情】【试试火力】1. （2017毕节）如图，RtABC中，ACB=90，斜边AB=9，D为AB的中点，F为CD上一点，且CF=CD，过点B作BEDC交AF的延长线于点E，则BE的长为（）A6 B4 C7 D12 【考点】KX：三角形中位线定理；KP：直角三角形斜边上的中线【分析】先根据直角三角形的性质求出CD的长，再由三角形中位线定理即可得出结论【解答】解：RtABC中
12、，ACB=90，斜边AB=9，D为AB的中点，CD=AB=4.5CF=CD，DF=CD=4.5=3BEDC，DF是ABE的中位线，BE=2DF=6故选A2. （2017益阳）如图，ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，CD是AB边上的中线则CD=6.5【考点】KS：勾股定理的逆定理；KP：直角三角形斜边上的中线【分析】先根据勾股定理的逆定理判定ABC为直角三角形，然后根据直角三角形的性质即可得到结论【解答】解：在ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，AC2+BC2=52+122=132=AB2，ABC为直角三角形，且ACB=90，CD是AB边上的中线，CD=6.5；故答案为：6.5
13、【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的性质的综合应用先判定ABC为直角三角形是解题的关键3. （2017四川眉山）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学九章算术中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（）A1.25尺B57.5尺C6.25尺D56.5尺【考点】KU：勾股定理的应用【分析】根据题意可知ABFADE，根据相似三角形的性质可求AD，进一步得到井深【解答】解：依题意有ABFADE，AB：AD=BF：DE，即5：AD=0.4：5，解得AD=62.5，BD=ADAB=62.55=57.5尺故选：B4. （2017宁夏）在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点 P分别作 PMA B，PNAC，M、N分别为垂足（1）求证：不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；（2）当BP的长为何值时，四边形AMPN的
