《§6.7 子空间的直和.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《§6.7 子空间的直和.ppt（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 2线性空间的定义与简单性质 3维数 基与坐标 4基变换与坐标变换 1集合 映射 5线性子空间 7子空间的直和 8线性空间的同构 6子空间的交与和 小结与习题 第六章线性空间 6 7子空间的直和 6 7子空间的直和 一 直和的定义 二 直和的判定 三 多个子空间的直和 6 7子空间的直和 引入 有两种情形 此时 即 必含非零向量 6 7子空间的直和 情形2 是子空间的和的一种特殊情况 此时 不含非零向量 即 6 7子空间的直和 一 直和的定义 设为线性空间V的两个子空间 若和 是唯一的 和就称为直和 记作 注 若有 则 分解式唯一的 意即 中每个向量的分解式 6 7子空间的直和 分解式唯一的不
2、是在任意两个子空间的和中 都成立 例如 R3的子空间 这里 在和中 向量的分解式不唯一 如 所以和不是直和 6 7子空间的直和 而在和中 向量 2 2 2 的分解式是唯一的 事实上 对 故是直和 都只有唯一分解式 6 7子空间的直和 二 直和的判定 分解式唯一 即若 1 定理8 和是直和的充要条件是零向量 则必有 证 必要性 是直和 的分解式唯一 而0有分解式 6 7子空间的直和 充分性 故是直和 设 它有两个分解式 有 其中 于是 由零向量分解成唯一 且 即 的分解式唯一 6 7子空间的直和 2 和是直和 则有 任取 证 若 于是零向量可表成 由于是直和 零向量分解式唯一 故 6 7子空间的
3、直和 证 由维数公式 3 和是直和 有 6 7子空间的直和 总之 设为线性空间V的子空间 则下面 四个条件等价 2 零向量分解式唯一 1 是直和 3 4 4 定理10 设U是线性空间V的一个子空间 称这样的W为U的一个余子空间 则必存在一个子空间W 使 6 7子空间的直和 证 取U的一组基 把它扩充为V的一组基 则 余子空间一般不是唯一的 除非U是平凡子空间 注意 如 在R3中 设 6 7子空间的直和 5 设分别是线性子空间 的一组基 则 证 由题设 若线性无关 则它是的一组基 从而有 6 7子空间的直和 反之 若直和 则 从而的秩为r s 所以线性无关 是直和 6 7子空间的直和 1 定义
4、中每个向量的分解式 都是线性空间V的子空间 若和 是唯一的 则和就称为直和 记作 6 7子空间的直和 四个条件等价 2 零向量分解式唯一 即 3 4 2 判定 设都是线性空间V的子空间 则下面 1 是直和 6 7子空间的直和 例1 每一个n维线性空间都可以表示成n个一维 子空间的直和 证 设是n维线性空间V的一组基 则 而 6 7子空间的直和 例 2 已知 设 2 当时 证 1 是的子空间 证明 1 是的子空间 6 7子空间的直和 从而有 故是的子空间 下证是的子空间 6 7子空间的直和 又 2 先证 任取 其中 再证 又是的子空间 6 7子空间的直和 任取 从而 所以 6 7子空间的直和 练习1设V1 V2分别是齐次线性方程组 与 的 证 解齐次线性方程组 得其一个基础解系 解空间 证明 6 7子空间的直和 再解齐次线性方程组 由 即 得 的一个基础解系 考虑向量组 6 7子空间的直和 由于 线性无关 即它为Pn的一组基 又 6 7子空间的直和 2 和是直和 证 则 练习 6 7子空间的直和 则零向量还有一个分解式 在 式中 设最后一个不为0的向量是 则 式变为 这时 所以 是直和
