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1、概率论与数理统计练习题 系专业班姓名学号 第二章随机变量及其分布 一 一 选择题 1 设 X是离散型随机变量 以下可以作为X 的概率分布是 B A 1234 1111 24816 Xxxxx p B 1234 1111 2488 Xxxxx p C 1234 1111 23412 Xxxxx p D 1234 1111 23412 Xxxxx p 2 设随机变量 的分布列为 0123 0 10 30 40 2 X p xF为其分布函数 则 2 F C A B C D 1 二 填空题 1 设随机变量X 的概率分布为 012 0 20 5 X pa 则 a 2 某产品15 件 其中有次品2 件 现
2、从中任取3 件 则抽得次品数X 的概率分布为 3 13 3 15 66 0 105 C P X C 12 213 3 15 36 1 105 C C P x C 21 213 3 15 3 2 105 C C P x C 3 设射手每次击中目标的概率为 连续射击 10 次 则击中目标次数X的概率分布为 10 10 0 70 30 1 210 kkk P XkCkL 三 计算题 1 同时掷两颗骰子 设随机变量X为 两颗骰子点数之和 求 1 X的概率分布 2 3 P X 3 12 P X 解 1 1 2 36 P X 2 3 36 P X 3 4 36 P X 4 5 36 P X 5 6 36
3、P X 6 7 36 P X 5 8 36 P X 4 9 36 P X 3 10 36 P X 2 11 36 P X 1 12 36 P X 所以X的概率分布列 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1 36 2 36 3 36 4 36 5 36 6 36 5 36 4 36 3 36 2 36 1 36 2 3 3 36 P X 3 P X 12 0 2 产品有一 二 三等品及废品四种 其中一 二 三等品及废品率分别为60 10 20 及 10 任取一个产品检查其质量 试用随机变量X描述检查结果 解 设 X 1 2 3 及 4 分别表示一 二 三等品及废品 X 1
4、2 3 4 P 3 已知随机变量X 只能取1 0 1 2 四个值 相应概率依次为 1357 24816cccc 试确定常数 c 并计算 1 P X 解 由于1 Xk 即 1357 1 24816cccc 所以 37 16 C 110 P XP XP X 8412 373737 4 一袋中装有5 只球编号1 2 3 4 5 在袋中同时取3 只 以 X表示取出的3 只球中最大号 码 写出随机变量X的分布律和分布函数 解 X的可能取值为3 4 5 随机变量X的分布律为 3 5 11 3 10 P X C 2 3 3 5 3 4 10 C P X C 2 4 3 5 6 5 10 C P X C X分
5、布函数为 03 0 134 0 445 15 x x F x x x 5 设随机变量 2 3 XBPYBP 若 5 1 9 P X 求 1 P Y 解 由于 002 2 5 1 1 1 1 0 1 1 9 P XP XP XC pp 所以 1 3 p 03 0 3 11819 1 1 1 1 0 111 332727 P YP YP YC 概率论与数理统计练习题 系专业班姓名学号 第二章随机变量及其分布 二 一 选择题 1 设连续性随机变量X的密度函数为 201 0 xx f x 其他 则下列等式成立的是 A A 1 1P X 11 22 P X 11 22 P X 11 22 P X 2 设
6、连续性随机变量X的密度函数为 ln 1 0 1 xxb f x xb 则常数 b A A e B 1e C 1e D 2 e 3 设 2 XN 要使 0 1 YN 则 C A X Y B YX C X Y D YX 4 设 0 1 XN 2 2 1 0 2 x x xedtx 则下列等式不成立的是 C A 1 xx B 0 0 5 C xx D 2 1Pxaa 5 X服从参数 1 9 的指数分布 则 39 PX C A 1 1 3 FF B 3 111 9ee C 3 11 ee D 9 9 3 x edx 二 填空题 1 设连续性随机变量X的密度函数为 2 01 0 Axx f x 其他 则
7、常数A 3 2 设随机变量 2 2 XN 已知 24 0 4PX 则 0 P X 三 计算题 1 设 1 4 XU求 5 P X和 02 5 PX 解 5 P X 1 02 5 PX 2 5 2 5 1 1 1 0 5 413 x dx 2 设随机变量X的密度函数为 01 12 0 xx f xaxbx 其他 且 37 0 28 PX 求 1 常数 a b 2 13 22 PX 3 X的分布函数 F x 解 1 由归一性 12 01 13 1 22 a f x dxxdxaxb dxb 又 3 1 2 01 3157 0 22828 ab PXxdxaxb 解得12 ab 由此得 01 212
8、 0 xx f xxx 其他 2 3 1 2 1 1 2 133 2 0 75 224 PXxdxx 3 X的分布函数 0 1 01 00 01 2 12 12 x x x tdtx F x tdttdtx x 2 2 00 0 501 0 52112 12 x xx xxx x 3 设某种电子元件的使用寿命X 单位 h 服从参数 1 600 的指数分布 现某种仪器使用三 个该电子元件 且它们工作时相互独立 求 1 一个元件时间在200h 以上的概率 2 三个元件中至少有两个使用时间在200h 以上的概率 解 1 11 6003 200 1 200 600 x P Xedxe 2 设 Y表示
9、三个元件中使用时间在200h 以上元件的个数 223 P YP YP Y 1112 2231 3333 3 132 Ceeeee 概率论与数理统计练习题 系专业班姓名学号 第二章随机变量及其分布 三 1 已知 X的概率分辨为 210123 20 1 32 i X paaaaa 试求 1 常数 a 2 2 1YX的概率分布 解 由于20 1321 aaaaa 所以0 1 a 则 X的概率分布列为 210123 0 20 10 30 10 10 2 i X p 2 2 1YX的概率分布为 即 2 210123 0 20 10 30 10 102 1301038 i X P YX 2 11038 0
10、 30 20 30 2 i YX P 2 设随机变量X在 0 1 服从均匀分布 求 1 X Ye的概率密度 2 2lnYX的概率密度 解 1 当 y 0 时 2 2 ln y Y FyP YyPXyP Xe 22 11 yy P Xee 2 1 2 y dF y f ye dy 即 2 00 1 0 2 y y f y ey 3 设 0 1 XN 求 1 2 21YX的概率密度 2 YX的概率密度 解 1 221 21 2 Y y FyP YyPXyP X 11 22 yy PX 1 21 2 y y 1 111 2 2 221 Y dFyy f y dy y 2 1 2 1 22 111 2
11、1221 y y ee yy 即 1 2 01 1 1 21 y y f y ey y 2 21 F yP YyP XyPyXyy y 0 22 22 12 2 2 yy dF f yee dy y 0 即 2 2 00 2 0 y y fy ey 4 设随机变量X的概率密度为 2 2 0 0 x x f x 其他 求 sinYX的概率密度 解 sin arcsinarcsin Y FyP YyPXyP XyXy 1 arcsin arcsin XX FyFy 22 11 11 arcsin arcsin Y YXX dFy fyfyfy dy yy 22 22 2121 11 arcsin arcsin yy yy 2 2 1y 即 2 2 01 1 0 Y y fyy 其他
