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1、电磁感应动力学问题归纳 重 难点解析 一 电磁感应中的动力学问题 电磁感应和力学问题的综合 其联系桥梁是磁场对感应电流的安培力 因为感应电流与导体运动的加 速度有相互制约的关系 这类问题中的导体一般不是做匀变速运动 而是经历一个动态变化过程再趋于一 个稳定状态 故解这类问题时正确进行动态分析确定最终状态是解题的关键 1 动态分析 求解电磁感应中的力学问题时 要抓好受力 分析和运动情况的动态分析 导体在拉力作用下运动 切割磁感线产生感应电动势 感应电流 通电 导体受安培力 合外力变化 加速度变化 速度变化 周而复始地循环 当循环结束时 加速度等于零 导体达到稳定运动状态 此时a 0 而速度v 通
2、过加速达到最大值 做匀速直线运动 或通过减速达到稳 定值 做匀速直线运动 2 两种状态的处理 当导体处于平衡态 静止状态或匀速直线运动状态时 处理的途径是 根据合外 力等于零分析 当导体处于非平衡态 变速运动时 处理的途径是 根据牛顿第二定律进行动态分析 或者结合动量的观点分析 3 常见的力学模型分析 类型 电 动 电 型 动 电 动 型 示 意 图 棒 ab 长为 L 质量 m 电阻 R 导轨光 滑 电阻不计 棒 ab 长 L 质量 m 电阻 R 导轨光滑 电阻不计 分 析 S闭合 棒 ab 受安培力 R BLE F 此时 mR BLE a 棒 ab 速度 v 感应电动势 BLv 电流I 安
3、培力F BIL 加 速度 a 当安培力F 0时 a 0 v 最 大 棒 ab 释放后下滑 此时 singa 棒 ab 速度 v 感应电动势E BLv 电流 R E I 安培力F BIL 加速度a 当安培力 sinmgF 时 a 0 v 最大 运动 形式 变加速运动变加速运动 最终 状态匀速运动BL E v m 匀速运动 22 m LB sinmgR v 4 解决此类问题的基本步骤 1 用法拉第电磁感应定律和楞次定律 包括右手定则 求出感应电动势的大小和方向 2 依据全电路欧姆定律 求出回路中的电流强度 3 分析导体的受力情况 包含安培力 可利用左手定则确定所受安培力的方向 4 依据牛顿第二定律
4、列出动力学方程或平衡方程 以及运动学方程 联立求解 问题 1 电磁感应现象中的动态与终态分析问题 例 如图甲所示 两根足够长的直金属导轨MN PQ 平行放置在倾角为 的绝缘斜面上 两导轨间距为 L M P两点间接有阻值为R的电阻 一根质量为m 的均匀直金属杆ab 放在两导轨上 并与导轨垂直 整 套装置处于磁感应强度为B 的匀强磁场中 磁场方向垂直斜面向下 导轨和金属杆的电阻可忽略 让ab 杆沿导轨由静止开始下滑 导轨和金属杆接触良好 不计它们之间的摩擦 1 由 b 向 a 方向看到的装置如图乙所示 请在此图中画出ab 杆下滑过程中某时刻的受力示意图 2 在加速下滑过程中 当ab 杆的速度大小为
5、v 时 求此时ab 杆中的电流及其加速度的大小 3 求在下滑过程中 ab 杆可以达到的速度的最大值 解析 1 重力 mg 竖直向下 支持力N 垂直斜面向上 安培力F 沿斜面向上 如图所示 2 当 ab 杆速度为v 时 感应电动势 BlvE 此时电路中电流R Blv R E I ab 杆受到安培力 R vLB BILF 22 根据牛顿运动定律 有 R vLB sinmgma 22 mR vLB singa 22 3 当 sinmg R vLB 22 时 ab 杆达到最大速度 m v 22 m LB sinmgR v 变式 1 针对训练1 如图甲所示 CD EF是两根足够长的固定平行金属导轨 两导
6、轨间的距离为l 导轨 平面与水平面的夹角是 在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场 磁感强度为B 在导轨的C E端连接一个阻值为R 的电阻 一根垂直于导轨放置的金属棒ab 质量为m 从静止开始沿 导轨下滑 求ab 棒的最大速度 要求画出ab 棒的受力图 已知ab 与导轨间的动摩擦因数 导轨和金 属棒的电阻都不计 解析 金属棒 ab 下滑时电流方向及所受力如图乙所示 其中安培力 R vlBIlBF 22 棒下滑的 加速度 m R vlBcosmg sinmg a 22 棒由静止下滑 当v 变大时 有下述过程发生 vaFv 合 可知a 越来越小 当a 0 时速度达到最大值 以后棒匀速
7、运动 当平衡时有 0R vlBcosmgsinmg m 22 lB R cos sinmgv 22 m 变式 2 针对训练2 如图所示 两根平滑的平行金属导轨与水平面成 角放置 导轨间距为L 导轨上端 接有阻值为R 的电阻 导轨电阻不计 整个电阻处在竖直向上 磁感应强度为B的匀强磁场中 把一根质 量为 m 电阻也为R 的金属圆杆MN 垂直于两根导轨放在导轨上 从静 止开始释放 求 1 金属杆MN 运动的最大速度m v 的大小 2 金属杆MN 达到最大速度的3 1 时的加速度a 的大小 解析 金属杆 MN 由静止释放后 沿导轨加速下滑时 切割磁感线产生感应电动势为cosBLvE 由 MN 与电阻
8、 R 组成的闭合电路中感应电流为 cos R2 Blv R E I 由右手定则可知金属杆中电流方向是从N 到 M 此时金属杆除受重力mg 支持力N 外 还受到磁场 力 即 R2 cos vLBBILF 22 金属杆受力示意图如图所示 金属杆沿斜面方向的合外力为 2 22 cos R2 vLB sinmgcosFsinmgF合 根据牛顿第二定律有 macos R2 vLB sinmg 2 22 由 式可知 当a 0 时 金属杆上滑的速度达最大值 由 式解得 cosLB tanmgR2 v 22 m 2 将cosLB3 tanmgR2 v 3 1 v 22 m 代入 得 sinmg 3 2 sin
9、mg 3 1 sinmgv 3 1 cos R2 LB sinmgF m 2 22 合 而 amF合 有 sing 3 2 a 答案 cosLB tanmgR2 22 sing 3 2 规律方法总结 对于滑棒类问题的动态分析问题 抓住受力情况 进行运动过程的动态分析是关键 既要注意感应电流的方向及安培力大小 方向的判断 又要善于运用牛顿运动定律与电磁学中有关力的知 识综合运用 问题 2 双棒类运动模型问题分析 例 如图所示 质量都为m 的导线 a 和 b 静止放在光滑的无限长水平导轨上 两导轨间宽度为L 整 个装置处于竖直向上的匀强磁场中 磁场的磁感强度为B 现对导线b 施以水平向右的恒力F
10、求回路中 的最大电流 剖析 开始时导线b 做加速运动 回路中很快产生感应电流 根据右手定则与左手定则得出导线a 也将做加速运动 但此时b 的加速度大于a 的加速度 因此a与 b 的速度差将增大 据法拉第电磁感应定 律 感应电流将增大 b 的加速度减小 但只要b 的加速度仍大于a 的加速度 a b 的速度差就会继续增 大 所以当a 与 b 的加速度相等时 速度差最大 回路中产生相应的感应电流也最大 设此时导线a 与 b 的共同加速度为 共 a 回路中电流强度为 m I 对导线 a 有 共安 maF 对导线 a 与 b 系统有 共 ma2F 又 LBIF m安 可解得 BL2 F I m 变式 3
11、 针对训练3 如图所示 两条平行的长直金属细导轨KL PQ 固定于同一水平面内 它们之间的距 离为 l 电阻可忽略不计 ab 和 cd 是两个质量皆为m 的金属细杆 杆与导轨垂直 且与导轨接触良好 并可沿导轨无摩擦的滑动 两杆的电阻皆为R 杆 cd 的中点系一轻绳 绳的另一端绕过轻质定滑轮悬挂一 质量为 M 的物体 滑轮与转轴之间的摩擦不计 滑轮与杆cd 之间的轻绳处于水平伸直状态并与导轨平行 导轨和金属细杆都处于匀强磁场中 磁场方向垂直于导轨所在平面向上 磁感应强度的大小为B 现两杆 与悬挂物都从静止开始运动 当ab 杆和 cd 杆的速度分别达到v1和 v2时 两杆加速度大小各为多少 解析
12、重物 M 下落使杆cd 做切割磁感线运动 产生感应电动势 同时在 abdc 回路中形成感应电流 则 ab 杆受安培力作用而向右做切割磁感线运动 ab 杆也产生感应电动势 用 E和 I 分别表示adbc 回路的 感应电动势和感应电流的大小 根据法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律可知 vv BlE 12 R2 EI 令 F表示磁场对每根杆的安培力的大小 则BIlF 令 a1和 a2分别表示 ab 杆 cd 杆和物体M 加速度的大小 T 表示绳中张力的大小 由牛顿定律可知 1 maF 2 2 maFT MaTMg 由以上各式解得 Rm2 vv lBa 12 22 1 R mM 2 vv lBMgR
13、2 a 12 22 2 变式 4 针对训练4 15 分 如图 在水平面上有两条平行导电导轨MN PQ 导轨间距离为l 匀强磁场 垂直于导轨所在的平面 纸面 向里 磁感应强度的大小为B 两根金属杆1 2 摆在导轨上 与导轨垂直 它们的质量和电阻分别为m1 m2和 R1 R2 两杆与导轨接触良好 与导轨间的动摩擦因数为 已知 杆 1 被外力拖动 以恒定的速度0 v 沿导轨运动 达到稳定状态时 杆 2 也以恒定速度沿导轨运动 导轨的 电阻可忽略 求此时杆2 克服摩擦力做功的功率 解法一 设杆 2 的运动速度为v 由于两杆运动时 两杆间和导轨构成的回路中的磁通量发生变化 产生感应电动势 vv Bl 0
14、 感应电流 21 RR I 杆 2 做匀速运动 它受到的安培力等于它受到的摩擦力 gmBlI 2 以 P表示杆 2 克服摩擦力做功的功率 gvmP 2 解得 RR lB gm v gmP 2122 2 02 解法二 以 F表示拖动杆1 的外力 以I 表示由杆1 杆 2 和导轨构成的回路中的电流 达到稳定时 对杆 1 有 0BIlgmF 1 对杆 2 有 0gmBIl 2 外力 F的功率0F FvP 以 P表示杆 2 克服摩擦力做功的功率 则有 0121 2 F gvm RR IPP 由以上各式得 RR lB gm v gmP 21 22 2 02 变式 5 针对训练5 如图所示 两根完全相同的
15、 V 字形导轨OPQ与 KMN 倒放在绝缘水平面上 两导轨 都在竖直平面内且正对平行放置 其间距为L 电阻不计 两条导轨足够长 所形成的两个斜面与水平面 的夹角都是 两个金属棒ab 和 ba的质量都是m 电阻都是R 与导轨垂直放置且接触良好 空间有分 别垂直于两个斜面的匀强磁场 磁感应强度均为B 如果两条导轨皆光滑 让ba固定不动 将ab 释放 则ab 达到的最大速度是多少 解析 ab 运动后切割磁感线 产生感应电流 而后受到安培力 当受力平衡时 加速度为0 速度 达到最大 则 安 Fsinmg 又 BILF安 R2 EI 感 m BLvE感 联立上式解得 22 m LB sinmgR2 v
16、规律方法总结 1 双金属棒在导轨上滑动时 要特别注意两棒的运动方向 从而确定两 电源 的 电动势方向 据闭合电路欧姆定律计算电路中的电流强度 从而求出要求的其它问题 2 和单棒在导轨上滑动一样 要认真进行受力情况和运动情况的动态分析 以及功 能的综合分析 模拟试题 答题时间 45 分钟 1 如图所示 ab 和 cd 是位于水平面内的平行金属轨道 其电阻可忽略不计 ac 之间接一阻值为R 的电 阻 ef 为一垂直于ab 和 cd 的金属杆 它与ab 和 cd 接触良好并可沿轨道方向无摩擦地滑动 ef 长为 l 电阻可忽略 整个装置处在匀强磁场中 磁场方向垂直于图中纸面向里 磁感应强度为B 当施加外力使 杆 ef 以速度 v 向右匀速运动时 杆ef 所受的安培力为 A R vlB 22 B R Blv C R lvB 2 D R vBl 2 2 如图所示 在竖直向下的磁感应强度为B 的匀强磁场中 有两根水平放置相距L 且足够长的平行金属 导轨 AB CD 在导轨的AC 端连接一阻值为R 的电阻 一根垂直于导轨放置的金属棒ab 质量为m 导 轨和金属棒的电阻及它们间的摩擦不计 若用恒力F沿水
