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1、实验数据处理方法第一部分 概率论基础 第四章特殊的概率密度函数 概率分布函数反映了随机变量的概率分布规律 在概率论中处理概率分布时一般不涉及分布的物理来源 为在实验数据分析中正确地掌握和运用这些分布函数 需要 熟悉公式及运算规则 分布的物理意义 实验数据处理中所用到的概率分布的来源 实验所涉及到的物理问题本身的统计性质带来的 这类分布比较多样化 是和所处理的物理问题有直接的联系 对实验测量结果作数据处理时所引进的 这一类分布比较标准化 且处理的方法也比较明确 本章内容 数据处理过程中常用的概率分布函数 给出它们的定义 性质和实际应用 第四章特殊的概率密度函数 4 1二项式分布 Binomial
2、Distribution 4 1二项式分布 Binomialdistribution 一 定义 亦称伯努利分布 考虑一个随机实验的两个互斥的结果 成功和失败 设成功的概率为p 则不成功的概率为1 p q 在n次独立的实验中 有r次成功的概率为 二 性质 满足归一化条件 证 4 1二项式分布 Binomialdistribution 在变换 r p n r 1 p 下保持不变 B r n p B n r n 1 p 当p q 0 5时 是对称的 对于任意的p值 是非对称的 当n增大时 分布趋于对称 当n很大时 近似为正态分布 服从二项式分布的随机变量r的平均值和方差 三 应用 给出进行N次实验有
3、r次成功的概率 4 1二项式分布 Binomialdistribution 例1 直方图 Histogram 考虑一直方图 设A表示一事例落入Bini A表示某事例落入直方图中其它的Bin 如果共有n个独立的事例 其中有r个事例落入Bini n r个事例分布于其它的Bin r服从二项式分布 Bini中事例数r的期望值和方差 E r npV r np 1 p r的标准偏差 概率p是未知的 可由实验结果估计 一维散点图 一维直方图 4 1二项式分布 Binomialdistribution 例2 设在某实验中 所期望的事例出现的概率为p 问 需要作多少次实验才能使至少有一个这样的事例出现的概率为
4、设在N次实验中共出现了X这样的事例 X服从二项式分布 至少有一个这样的事例出现的概率 02132312 N次 成功次数r 4 1二项式分布 Binomialdistribution 几何分布 负二项式分布 超几何分布 作一系列独立的伯努利实验 前r 1次实验失败 第r次成功的概率 不是从n次实验中抽取的 作一系列独立的伯努利实验 在第r次实验中事件是第k次成功 这类事件的概率为 N个元素 其中a个表示成功 N a个表示失败 从N个元素中一次抽取n个元素 其中有r个成功 n r个失败的概率为 4 1二项式分布 Binomialdistribution 超几何分布的期望值和方差为 当时 超几何分布
5、近似为二项式分布 其中 第四章特殊的概率密度函数 4 2多项式分布 Multinomialdistribution 4 2多项式分布 Multinomialdistribution 一 定义 设可能的实验结果可分成k组 A1 A Ak 每次实验结果落入某一组Ai的几率为pi 如果共进行了n次独立的实验 实验结果落入各个组的次数为r1 r rk的概率为 二 性质 多项式分布是二项式分布的推广 除具有二项式分布的一些特性外 还具有以下的附加性质 4 2多项式分布 Multinomialdistribution 1 ri的期望值 E ri Npi2 ri的方差 v ri npi 1 pi 3 ri和
6、rj的协方差 cov ri rj npipj相关系数 即 ri和rj总是负相关一维直方图中 当bin宽度足够小时 pi 0 ri和rj相关度很小 4 当n很大时 多项式分布趋向于多维正态分布 三 应用 用于处理一次实验有多个可能的结果的情况 4 2多项式分布 Multinomialdistribution 例 设有n个事例 分布于直方图的k个bin中 某事例落入bini的概率为pi 落入bini的事例数为ri 则k个bin中事例数分别为r1 r rk的概率为多项式分布 ri的期望值和方差 E ri npiv ri npi 1 pi 如果pi 1 即bin的数目k很大 则有v ri npi ri
7、 带误差棒的一维直方图 第四章特殊的概率密度函数 4 3泊松分布 Possiondistribution 4 3泊松分布 Possiondistribution 一 定义 泊松分布是二项式分布的极限形式 p 0 n 但np 有限值 根据Stirling公式 当n很大时 4 3泊松分布 Possiondistribution 二 性质 期望值 E 方差 V 三 应用 泊松分布给出在事例率为常数的情况下 在某一给定时间间隔内得到r个独立事例的概率 例1 气泡室中的气泡沿着带电粒子径迹的分布 设单位径迹长的上气泡的平均数目为常数g 假定 在长度间隔 l l l 上最多只有一个气泡 在 l l l 这
8、个间隔中找到一个气泡的概率正比于 l 在两个不重迭的间隔中产生气泡的事件是互不相关的 具有上述特点的随机过程就称为泊松过程 4 3泊松分布 Possiondistribution 由假设1和2 在 l l l 中 有一个气泡的概率 p1 l g l 没有气泡的概率 p0 l 1 p1 l 1 g l 根据假设3 在 l l l 长度上没有气泡的概率 在l长度上没有气泡的概率 在 l长度上没有气泡的概率 p0 l l p0 l p0 l 独立性 平均值 gl的泊松分布 取边界条件p0 0 1 4 3泊松分布 Possiondistribution 求在长度l上观测到r个气泡的概率pr l 根据假
9、定 在间隔 l l l 内最多只能有一个气泡 r个气泡都在l内 r 1个气泡在l内 1个在 l 对r 0 在 0 l 中不产生气泡 概率是 4 3泊松分布 Possiondistribution 服从泊松分布的变量的加法定理 几个独立的泊松分布变量的和还是泊松分布变量 例2放射源和本底辐射的叠加 从放射源中辐射出的粒子的数目服从泊松分布 x 单位时间内从放射源中辐射出的平均粒子数 x 时间间隔t辐射出的粒子数目 如果将放射源放入一容器中 容器中的本底辐射服从 b的泊松分布 可测量量是来自放射源和本底的总粒子数 其分布为 p 的泊松分布 4 3泊松分布 Possiondistribution 例
10、3计数器的计数分布 设计数器的计数效率为p 1 在时间间隔t内通过计数器的总粒子数N服从平均值为v的泊松分布 求在时间间隔内 计数器所记录到的粒子数的分布p r 要得到r个计数 必须至少有r个粒子通过探测器 对于一个取得的N 得到r个计数的概率服从二项式分布 P r 所有可以给出r个计数的概率之和 即 每个Bin中的事例是独立的泊松变量 4 3泊松分布 Possiondistribution 例4多项式分布和泊松分布间的关系 考虑有k个Bin的直方图 每个Bin中的事例数ri服从多项式分布 设总事例数N服从平均值为 的泊松分布 则联合概率密度 第四章特殊的概率密度函数 4 4复合泊松分布 Co
11、mpoundPossiondistribution 定义 设是r1 r2 是一组N个独立的泊松变量 其平均值都为 n也是泊松变量 其平均值为 求 的分布P r 根据边缘概率的定义 p r 应为产生r个事例的所有的概率之和 为n个独立的泊松变量的联合概率 根据泊松变量的加法定理 4 4复合泊松分布 CompoundPossiondistribution 4 4复合泊松分布 CompoundPossiondistribution 性质 E r V r 1 应用 泊松型的随机过程触发另外一个泊松型的随机过程 例 云室中的液滴 带电粒子通过云室时 会受到一系列的散射 而每次散射过程都会引起液滴的产生
12、在一给定的径迹长度上 粒子受到的散射的次数服从泊松分布 每次散射所产生的液滴的数目也服从泊松分布 因此 在给定的径迹长度上所产生的液滴的数目r服从复合泊松分布 每次散射所产生的液滴的平均数目 在给定的径迹长度上粒子所受到的散射的平均次数 第四章特殊的概率密度函数 4 5均匀分布 Uniformdistribution 4 5均匀分布 Uniformdistribution 概率密度函数 性质 应用 1 多丝室的位置分辨率 粒子在两丝间的击中位置分布是均匀分布 1 期望值 2 方差 3 累积分布 丝距 b a 位置分辨率 2 均匀分布的随机数产生器 4 5均匀分布 Uniformdistribu
13、tion 任意连续分布的随机变量Y的概率密度函数为g y 2 均匀分布的随机数产生器 令 x的概率密度分布为 x是 0 1 区间的均匀分布的随机变量 是满足g y 分布的随机变量 橡皮泥原有形状 橡皮泥压缩后的形状 第四章特殊的概率密度函数 4 6指数分布 Exponentialdistribution 4 6指数分布 Exponentialdistribution 概率密度函数 性质 期望值 方差 应用 指数分布在粒子物理的应用非常广泛 衰变过程 衰减过程 4 6指数分布 Exponentialdistribution 例 泡室中粒子径迹的距离分布 在 l l l 中出现第一个气泡 在位置l
14、处单位长度内产生第一个气泡的概率 即概率密度 为 在 0 l 中不出现气泡 根据泊松假设 两事件独立 在 l l l 中出现一个气泡概率 联合概率密度 两事件概率密度之积 在 l l l 内出现第一个气泡的概率为 g为单位长度内平均气泡数目 4 6指数分布 Exponentialdistribution 例 一个放射源两次相继的核衰变之间时间间隔的分布 在 t t t 中发生第一次核衰变 在时刻t单位时间内发生一次核衰变的概率密度为 在 0 t 中没有核衰变 根据泊松假设 两事件独立 在 t t t 中发生一次核衰变 联合概率密度 两事件概率密度之积 在 t t t 内发生一次核衰变的概率为
15、为单位时间间隔内平均衰变次数 t的平均值 称为核的平均寿命 为 两次衰变的时间间隔 t的概率为 第四章特殊的概率密度函数 4 7正态分布 高斯分布 NormalorGaussiandistribution 4 7正态分布 高斯分布 NormalorGaussiandistribution 概率密度函数 性质 1 期望值 2 方差 3 累积分布 误差函数 4 7正态分布 高斯分布 NormalorGaussiandistribution 标准正态分布 StandardNormalDistribution N 0 1 令 得标准正态概率密度函数 0 1的正态分布 累积标准正态分布函数 G y 的应
16、用 1 设x是服从正态分布的随机变量 求x落于区间 a b 内的概率 1 区间 2 区间 3 区间 4 7正态分布 高斯分布 NormalorGaussiandistribution 规则 4 7正态分布 高斯分布 NormalorGaussiandistribution 2 已知概率值 求相对于平均值对称的区间 查表可得出 0 9a 1 645 0 95 1 960 0 99 20576 0 999 3 290 4 7正态分布 高斯分布 NormalorGaussiandistribution 正态变量加法定理 如果某一随机变量是一些正态变量的函数 该变量的分布形式是什么 如果是线性函数 加法定理 设x1 x2 xn是相互独立的正态变量 则 也是服从正态分布的变量 其平均值和方差分别为 例 正态分布样本的样本平均值和方差的特征 设n个独立的随机变量都服从正态分布 其平均值和方差分别为 和 2 对于由这n个量构成的正态样本 由正态变量的加法定理 样本平均值也是正态变量 的分布服从 4 7正态分布 高斯分布 NormalorGaussiandistribution 可以证明 1 服从自由
