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1、 2 2直接证明与间接证明 2 2 1综合法和分析法 复习 合情推理的结论不一定正确 有待证明 演绎推理得到的结论一定正确 例 已知a 0 b 0 求证a b2 c2 b c2 a2 4abc 因为b2 c2 2bc a 0所以a b2 c2 2abc 又因为c2 b2 2bc b 0所以b c2 a2 2abc 因此a b2 c2 b c2 a2 4abc 证明 利用已知条件和某些数学定义 公理 定理等 经过一系列的推理论证 最后推导出所要证明的结论成立 这种证明方法叫做综合法 用P表示已知条件 已有的定义 公理 定理等 Q表示所要证明的结论 则综合法用框图表示为 特点 由因导果 综合法又叫
2、由因导果法或顺推证法 例1 如图 ABC在平面 外 求证 P Q R三点共线 证明 因为AB P BC Q A 所以P Q R P AB BC R AC则得P Q R 平面ABC 因此P Q R是平面ABC与平面 的公共点 因为两平面相交有且只有一条交线 所以P Q R三点在平面ABC与平面 的交线上 即P Q R三点共线 例3 在 中 三个内角 对应的边分别为a b c 且 成等差数列 a b c成等比数列 求证 为等边三角形 证明 由A B C成等差数列 有2B A C 因为A B C是三角形的内角 所以A B C 180o 所以B 60o 由a b c成等比数列 有b2 ac 则b2 a
3、2 c2 2accosB a2 c2 ac 再有 得a2 c2 ac ac 即 a c 2 0因此a c 从而有A C 则由 得A B C 60o 所以三角形ABC是等边三角形 利用已知条件和某些数学定义 公理 定理等 经过一系列的推理论证 最后推导出所要证明的结论成立 这种证明方法叫做综合法 用P表示已知条件 已有的定义 公理 定理等 Q表示所要证明的结论 则综合法用框图表示为 小结 综合法的定义 回顾基本不等式 a 0 b 0 的证明 一般地 从要证明的结论出发 逐步寻求推证过程中 使每一步结论成立的充分条件 直至最后 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 已知条件 定理 定义 公理
4、等 为止 这种证明的方法叫做分析法 特点 执果索因 用框图表示分析法的思考过程 特点 分析法又叫执果索因法或叫逆推证法 例4 求证 证明 因为都是正数 所以为了证明 只需证明 展开得 即 只需证明21 25 因为21 25成立 所以不等式成立 例5 如图 SA 平面ABC AB BC 过A作SB的垂线 垂足为E 过E作SC的垂线 垂足为F 求证AF SC 证明 要证AF SC 只需证 SC 平面AEF 只需证 AE SC 只需证 AE 平面SBC 只需证 AE BC 只需证 BC 平面SAB 只需证 BC SA 只需证 SA 平面ABC 因为 SA 平面ABC成立 所以 AF SC成立 上述过
5、程可用框图表示 看课本第41页 例题6 一般地 利用已知条件和某些已经学过的定义 定理 公理等 经过一系列的推理 论证 最后推导出所要证明的结论成立 这种证明方法叫做综合法 特点 由因导果 小结 综合法又叫由因导果法或顺推证法 1 综合法的定义 一般地 从要证明的结论出发 逐步寻求推证过程中 使每一步结论成立的充分条件 直至最后 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 已知条件 定理 定义 公理等 为止 这种证明的方法叫做分析法 2 分析法的定义 分析法又叫执果索因法或叫逆推证法 特点 执果索因 2 2直接证明与间接证明 2 2 2反证法 复习 1 直接证明的两种基本证法 综合法和分析法
6、2 这两种基本证法的推证过程和特点 由因导果 执果索因 3 在实际解题时 两种方法如何运用 通常用分析法寻求思路 再由综合法书写过程 综合法 已知条件 结论 分析法 结论 已知条件 思考 将9个球分别染成红色或白色 那么无论怎样染 至少有5个球是同色的 你能证明这个结论吗 分析 假设有某种染法使红色球和白色球的个数都不超过4 则球的总数应不超过4 4 8 这与球的总数是9矛盾 因此 无论怎样染 至少有5个球是同色的 把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明 注 反证法是最常见的间接证法 一般地 假设原命题不成立 即在原命题的条件下 结论不成立 经过正确的推理 最后得出
7、矛盾 因此说明假设错误 从而证明了原命题成立 这样的证明方法叫做反证法 归谬法 理论 反证法的证明过程 否定结论 推出矛盾 肯定结论 即分三个步骤 反设 归谬 存真 反设 假设命题的结论不成立 存真 由矛盾结果 断定反设不成立 从而肯定原结论成立 归谬 从假设出发 经过一系列正确的推理 得出矛盾 用反证法证明命题的过程用框图表示为 肯定条件否定结论 导致逻辑矛盾 反设不成立 结论成立 反证法的思维方法 正难则反 例7已知a 0 证明x的方程ax b有且只有一个根 证 由于a 0 因此方程至少有一个根x b a 注 结论中的有且只有 有且仅有 形式出现 是唯一性问题 常用反证法 如果方程不只一个根 不妨设x1 x2 x1 x2 是方程的两个根 例8 已知直线a b和平面 如果且a b 求证 a a b P 看课本第43页 例题8 归纳总结 三个步骤 反设 归谬 存真 归缪矛盾 1 与已知条件矛盾 2 与已有公理 定理 定义矛盾 3 自相矛盾 1 直接证明有困难 正难则反 归纳总结 哪些命题适宜用反证法加以证明 牛顿曾经说过 反证法是数学家最精当的武器之一 3 唯一性命题 2 否定性命题 4 至多 至少型命题 推理与证明 推理 证明 合情推理 演绎推理 直接证明 间接证明 类比推理 归纳推理 分析法 综合法 反证法 知识结构
