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1、河北省唐山市开滦第二中学高中数学 3.1.3导数的几何意义导学案 新人教A版选修1-1【学习目标】1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;2.理解曲线的切线的概念;3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题.【重点难点】曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义.【学习内容】一、创设情景我们知道,导数表示函数在处的瞬时变化率,反映了函数在附近的变化情况,导数的几何意义是什么呢？二、学习新知(一)曲线的切线及切线的斜率如图,当沿着曲线趋近于点时,割线的变化趋势是什么？我们发现:问题: (1)割线的斜率与切线的斜率有什么关系？ (2)切线的斜率为多少？说明: (1)设切
2、线的倾斜角为,那么当时,割线的斜率,称为曲线在点处的切线的斜率.这个概念: 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; 切线斜率的本质函数在处的导数.(2)曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.(二)导数的几何意义函数在处的导数等于在该点处的切线的斜率,即说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:求出点的坐标;求出函数在点处的变化率得到曲线在点的切线的斜率;利用点斜式求切线方程.(三)导函数由函数在处求导数的过
3、程可以看到,当时,是一个确定的数,那么,当变化时,便是的一个函数,我们叫它为的导函数.记作:或,即.注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数.(四)函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系(1)函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个常数,不是变数.(2)函数的导数,是指某一区间内任意点而言的,就是函数的导函数.(3)函数在点处的导数就是导函数在处的函数值,这也是求函数在点处的导数的方法之一.三、典例分析例1 (1)求曲线在点处的切线方程.(2)求函数在点处的导数.解: 例2 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数,根据图像,请描述、比较曲线在
4、、附近的变化情况.解: 例3 如图,它表示人体血管中药物浓度(单位:)随时间(单位:)变化的图象.根据图像,估计时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到)解：下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:验证一下，这些值是否正确。0.20.40.60.8药物浓度瞬时变化率0.40-0.7-1.4四、课堂练习1.求曲线在点处的切线.2.求曲线在点处的切线.五、【课堂小结与反思】六【课后作业与练习】1曲线在处的（ ）A 切线斜率为1 B 切线方程为 C 没有切线 D 切线方程为2已知曲线上的一点A（2，8），则点A处的切线斜率为（ ）A 4 B 16 C 8 D 23函数在处的导数的几何意义是（ ）A 在点处的函数值 B 在点处的切线与轴所夹锐角的正切值C 曲线在点处的切线的斜率 D 点与点（0，0）连线的斜率4已知曲线上过点（2，8）的切线方程为，则实数的值为（ ）A 1 B 1 C 2 D 25若，则（ ）A 3 B 6 C 9 D 126设为可导函数，且满足条件，则曲线在点（1，1）处的切线的斜率为（ ）A 2 B 1 C D 27 已知曲线上的两点A（2，3），当时，割线AB的斜率是_，当时，割线AB的斜率是_，曲线在点A处的切线方程是_。8在曲线上过哪一点的切线，（1）平行于直线；（2）垂直于直线；（3）与轴成的倾斜角；（4）求过点R（1，3）与曲线相切的直线。
