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江西省九江市实验中学高中数学 平均值不等式(无答案)新人教A版选修4-5目的要求: 重点难点: 教学过程:一、引入: 1、定理1:如果,那么(当且仅当时取“=”) 证明: 1指出定理适用范围:强调取“=”的条件。2、定理2:如果是正数,那么(当且仅当时取“=”) 证明: 即: 当且仅当时 注意:1这个定理适用的范围:; 2语言表述:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。3、定理3:如果,那么(当且仅当时取“=”) 证明: 上式0 从而指出:这里 就不能保证。 推论:如果,那么。(当且仅当时取“=”) 证明: 4、算术几何平均不等式:如果 则:叫做这n个正数的算术平均数,叫做这n个正数的几何平均数;基本不等式: () 这个结论最终可用数学归纳法,二项式定理证明(这里从略)语言表述:n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。的几何解释:以为直径作圆,在直径AB上取一点C,过C作弦DDAB 则,从而,而半径。二、典型例题:例1、已知为两两不相等的实数,求证:。证: 以上三式相加:例2、设为正数,求证:。例3、设,为正数,证明:。例4、若,设 求证: 加权平均;算术平均;几何平均;调和平均证:即:(俗称幂平均不等式)由平均不等式即:综上所述:三、小结:四、练习:五、作业:1、若 求证证:由幂平均不等式: