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1、九江市同文中学2020学年下学期期段考试高二数学试卷（理科）命题人：高二数学备课组一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)11若，则正整数的值为A B C D2在复平面内，复数(其中是虚数单位）对应的点位于A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3若随机变量的分布列如下表所示，则等于A. B. C. D4已知直线与曲线相切，则实数的值为A B C D5.若二项式的展开式中的系数是，则实数A B. C D. 6.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是，连续两天为优良的概率是，已知某天的空气质量为优良，则随后
2、一天的空气质量为优良的概率是A. B. C. D.7.如图1：已知正方体的棱长为，分别是线段上的动点，当三棱锥的俯视图如图2所示时，三棱锥的对棱所成角的余弦值的为A B C D8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的位成员中使用移动支付的人数，则A. B. C. D. 9.给出下面类比推理命题(其中为实数集，为复数集)：“若，则”类比推出“若，则”；“若，则”类比推出“若，则”；若，则”类比推出“若，则”；若，且则”类比推出“若，且则”.其中类比结论正确的个数为A B. C D. 10.如图：正方形的四个顶点，及抛物线和，若将一个质点投入正方形中，则
3、质点落在图中阴影区域的概率是A B C D11.杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在年发现这一规律的.我国南宋数学家杨辉年所著的详解九章算法一书里出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就.如图所示，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：若数列的前项和为，则A. B. C. D. 12已知函数，若，则的最大值为A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.若，其中为实数，则_ 14.已知函数，则_ 15.某外商计划在个候选城市中投资个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过个，则该外
4、商不同的投资方案有_ 16已知是椭圆的左，右顶点，是椭圆上除外的任意一点，设直线的斜率分别为，若的最小值为，则椭圆的离心率为_三、解答题：(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)已知等差数列的公差为，其前项和（1）求的值及的通项公式；（2）在等比数列中，令（），求数列的前项和18(本小题满分12分)中，三内角所对的边分别为，边上的高为，已知(1)求的值；(2)若，且的面积为，求的周长19.(本小题满分12分）如图，中，是的中点，将沿折起，使点到达点（1）求证：；（2）当三棱锥的体积最大时，设是线段上的动点（不包括端点），当直线与平面所成的角为时
5、，求线段的长度.20(本小题满分12分)张先生家住小区，他在科技园区工作，从家开车到公司上班有两条路线（如图），路线上有三个路口，各路口遇到红灯的概率均为,践线上有两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，. （1）若走路线，求最多遇到1次红灯的概率；（2）若走路线，求遇到红灯次数的数学期望；（3）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由.21(本小题满分12分)如图所示，抛物线()的焦点为，过点且斜率存在的直线交抛物线于两点，交准线于点，已知当直线的斜率为时，.(1)求抛物线的方程；xyABDFO(2)在上是否存在点，使得对任意直线，直
6、线，的斜率均成等差数列？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若在区间内有唯一的零点，证明：.九江市同文中学2020学年下学期期段考试高二数学试卷（理科）参考答案:一：选择题:题号123456789101112答案BACADACBBCDD二:填空题: 13. ； 14.； 15.； 16. 三：解答题：17.解：（1）， （2）， .18.解:(1)由已知及正弦定理得，即，；由正弦定理得，即. (2)，由余弦定理，得，的周长为.19.解：（1）且是的中点，由折叠知，又，面；（2）当面面时，三棱锥的体积最大，面面，面， 得，两两垂
7、直 ，如图建立空间直角坐标系，则，设，则，又平面的法向量，依题意得，得或，当时，点和点重合，舍去；，存在点使时，与平面所成的角.20.解：（1）设“走路线最多遇到次红灯”为事件，则.（2）依题意，的可能取值为；则，.随机变量的分布列为：012.（3）设选择路线遇到红灯次数为，随机变量服从二项分布，即，所以. 因为，所以选择路线上班最好.21.解:(1)直线的方程为，设，联立方程，消去，整理得，则；故，.抛物线方程为. (2)由(1)知， 设(），由，得，同理，,直线，的斜率均成等差数列，恒成立，即恒成立；,把代入上式，整理得恒成立，得存在点或，使得命题成立.22解：（1），当时，在上单调递增当时，设的两个根为，且在单调递増，在单调递减.（2）依题可知，若在区间内有唯一的零点，由（1）可知，且；于是： 由得，设，则，因此在上单调递减，又， 根据零点存在定理，故.
