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1、 学点一 学点二 学点三 学点四 学点五 学点六 学点七 学点八 指数函数图像与对几何画板 lnk数函数的图像的关系 13 对数函数的图象和性质 0 R 1 0 1 对数函数的概念函数叫做对数函数 2 对数函数的图象和性质 图在下一页 y logax a 0 且a 1 3 对数函数y logax a 0 且a 1 与指数函数y ax a 0 且a 1 互为 它们的图象关于对称 反函数 y x 在y轴的右侧 过定点 1 0 在 0 上是减函数 在 0 上是增函数 y 0 y 0 y 0 学点一比较大小 比较大小 1 2 3 分析 从对数函数单调性及图象变化规律入手 解析 1 函数y 在 0 上递
2、减 又 2 借助y 及y 的图象 tx如图所示 在 1 内 前者在后者的下方 3 由对数函数的性质知 0 评析 比较两个对数值的大小 常用方法 1 当底数相同 真数不同时 用函数的单调性来比较 2 当底数不同而真数相同时 常借助图象比较 也可用换底公式转化为同底数的对数后比较 3 当底数与真数都不同时 需寻求中间值比较 比较下列各组数中两个值的大小 1 2 3 a 0 且a 1 1 考查对数函数y log2x 因为它的底数2 1 所以它在 0 上是增函数 于是log23 4log0 32 7 3 对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1 而已知条件中并未明确指出底数a与1哪个大 因此
3、 要对底数a进行讨论 当a 1时 函数y logax在 0 上是增函数 于是loga5 1loga5 9 学点二求定义域 求下列函数的定义域 1 2 分析 注意考虑问题要全面 切忌丢三落四 解析 2 由log0 5 4x 3 04x 3 0得0 4x 3 1 x 1 函数的定义域是 2 由16 4x 0 x0得x 1x 1 1x 0 1 x 0或0 x 2 函数的定义域是 1 0 0 2 评析 求函数定义域实质上就是据题意列出函数成立的不等式 组 并解之 对于含有对数式的函数定义域的求解 必须同时考虑底数和真数的取值条件 在本例 2 4 中还用到指数 对数的单调性 求下列函数的定义域 1 y
4、2 1 要使函数有意义 必须且只需x 0 x 0log0 8x 1 0即x 0 82x 1 0 x 0 x 且x 因此 函数的定义域是 2 要使函数有意义 必须且满足2x 3 0 x x 1 0解得x 13x 1 0 x 3x 10 x因此 函数的定义域为 1 学点三求值域 求下列函数的值域 1 2 3 y loga a ax a 1 分析 复合函数的值域问题 要先求函数的定义域 再由单调性求解 解析 1 x2 4x 12 x2 4x 12 x 2 2 16 16 又 x2 4x 12 0 00 且y logx在 0 上是减函数 y R 函数的值域为实数集R 3 令u a ax u 0 a 1
5、 ax0 u a ax a y loga a ax logaa 1 函数的值域为 y y 1 评析 求函数的值域一定要注意定义域对它的影响 然后利用函数的单调性求之 当函数中含有参数时 有时需要讨论参数的取值 求值域 1 y log2 x2 4x 6 2 1 x2 4x 6 x 2 2 2 2 又 y log2x在 0 上是增函数 log2 x2 4x 6 log22 1 函数的值域是 1 2 x2 2x 2 x 1 2 3 3 0或 函数的值域是 学点四求最值 已知f x 2 log3x x 1 9 求y f x 2 f x2 的最大值及当y取最大值时x的值 分析 要求函数y f x 2 f
6、 x2 的最大值 首先要求函数的解析式 然后求出函数的定义域 最后用换元法求出函数的值域 解析 f x 2 log3x y f x 2 f x2 2 log3x 2 2 log3x2 log32x 6log3x 6 log3x 3 2 3 函数f x 的定义域为 1 9 要使函数y f x 2 f x2 有定义 必须 1 x2 91 x 9 1 x 3 0 log3x 1 令u log3x 则0 u 1 又 函数y u 3 2 3在 3 上是增函数 当u 1时 函数y u 3 2 3有最大值13 即当log3x 1 即x 3时 函数y f x 2 f x2 有最大值为13 评析 求函数的值域和
7、最值 必须考虑函数的定义域 同时应注意求值域或最值的常用方法 已知x满足不等式 3 求函数f x 的最大值和最小值 3 即 x 8 log2x 3 f x log2x 2 log2x 1 log2x 2 当log2x 即x 2时 f x 有最小值 又 当log2x 3 即x 8时 f x 有最大值2 f x min f x max 2 学点五求单调区间 求下列函数的单调区间 1 f x 2 f x log0 1 2x2 5x 3 分析 复合函数的单调性 宜分解为两个基本函数后解决 解析 1 令t 2x2 x 6 2 由 2x2 x 6 0知 x 2 当x 时 随x的增大t的值增大 从而logt
8、的值减小 当x 时 随x的增大t的值减小 从而logt的值增大 函数y log 2x2 x 6 的单调增区间是 单调减区间是 2 先求此函数的定义域 由 2x2 5x 3 0得 2x 1 x 3 0 得x3 易知y log0 1 是减函数 2x2 5x 3在上为减函数 即x越大 越小 y log0 1u越大 在 3 上函数 为增函数 即x越大 越大 y log0 1 越小 原函数的单调增区间为 单调减区间为 3 评析 复合函数单调区间的求法应注意三点 一是抓住变化状态 二是掌握复合函数的单调性规律 三是注意复合函数的定义域 已知f x loga ax 1 a 0 且a 1 1 求f x 的定义
9、域 2 讨论函数f x 的单调性 学点六求变量范围 已知函数f x lg ax2 2x 1 1 若f x 的定义域为R 求实数a的取值范围 2 若f x 的值域为R 求实数a的取值范围 分析 若f x 的定义域为R 则对一切x R f x 有意义 若f x 值域为R 则f x 能取到一切实数值 解析 1 要使f x 的定义域为R 只要使 x ax2 2x 1的值恒为正值 a 0 4 4a 0 2 若f x 的值域为R 则要求 x ax2 2x 1的值域包含 0 当a0时 x ax2 2x 1要包含 0 需a 0 4 4a 0 综上所述 0 a 1 评析 本题两小题的函数的定义域与值域正好错位
10、1 中函数的定义域为R 由判别式小于零确定 2 中函数的值域为R 由判别式不小于零确定 函数y logax在x 2 上总有 y 1 求a的取值范围 依题意得 logax 1对一切x 2 都成立 当a 1时 因为x 2 所以 y logax 1 即logax log22 所以11 所以logax 1 即logax log2对x 2恒成立 所以 a 1 综上 可知a的取值范围为a 1 1 2 学点七对数的综合应用 已知函数f x 1 判断f x 的奇偶性 2 证明 f x 在 1 上是增函数 分析 由函数的奇偶性 单调性的证明方法作出证明 评析 无论什么函数 证明单调性 奇偶性 定义是最基本 最常
11、用的方法 u x1 u x2 x2 x1 1 x2 x1 0 x1 1 0 x2 1 0 u x1 u x2 0 即u x1 u x2 0 y logu在 0 上是减函数 logu x1 logu x2 即log log f x1 f x2 f x 在 1 上是增函数 设f x log2 log2 x 1 log2 p x 1 求函数f x 的定义域 2 f x 是否存在最大值或最小值 如果存在 请把它求出来 如果不存在 请说明理由 1 由 0 x 1 0p x 0 当p 1时 函数f x 的定义域为 1 p p 1 2 因为f x 所以当 1 即13 x 时 f x 取得最大值 log2 2
12、log2 p 1 2 但无最小值 学点八反函数 已知a 0 且a 1 函数y ax与y loga x 的图象只能是 分析 分a 1 0 a 1两种情况 分别作出两函数的图象 根据图象判定关系 B 解析 解法一 首先 曲线y ax只可能在上半平面 y loga x 只可能在左半平面 从而排除A C 其次 从单调性着手 y ax与y loga x 的增减性正好相反 又可排除D 故只能选B 解法二 若01 则曲线y ax上升且过点 0 1 而曲线y loga x 下降且过 1 0 只有B满足条件 解法三 如果注意到y loga x 的图象关于y轴的对称图象为y logax的图象 因为y logax与
13、y ax互为反函数 图象关于直线y x对称 则可直接选B 评析 本题可以从图象所在的位置及单调性来判别 也可利用函数的性质识别图象 特别注意底数a对图象的影响 要养成从多角度分析问题 解决问题的习惯 培养思维的灵活性 原函数y f x 与其反函数的图象关于y x对称是其重要性质 若函数f x ax a 0 且a 1 的反函数的图象过点 2 1 则a 反函数的图象过点 2 1 则f x ax的图象过 1 2 得a 1 2 a 1 如何确定对数函数的单调区间 1 图象法 此类方法的关键是图象变换 2 形如y logaf x 的函数的单调区间的确定方法 首先求满足f x 0的x的范围 即求函数的定义
14、域 假设f x 在定义域的子区间I1上单调递增 在子区间I2上单调递减 则 当a 1时 原函数与内层函数f x 的单调区间相同 即在I1上单调递增 在I2上单调递减 当0 a 1时 原函数与内层函数f x 的单调区间不同 原函数在I1上单调递减 在I2上单调递增 2 如何学好对数函数 对数函数与指数函数的学习要对比着进行 如它们的定义域和值域互换 它们的单调性与底数a的关系完全一致 指数函数和对数函数的图象分别过点 0 1 和点 1 0 等 这样有助于理解和把握这两个函数 3 如何理解反函数 学习过程中要注意指数函数与对数函数的关系和它们间的相互转化 掌握反函数的图象关于直线y x对称 在解决
15、有关指数函数和对数函数的问题时 要注意数形结合 注意运用复合函数 同增异减 的单调性原则 注意分类讨论 1 在指数函数与对数函数中 对底数的要求是一致的 均是a 0 且a 1 但指数函数的定义域是R 对数函数的定义域是 0 对数函数的图象在y轴的右侧 真数大于零 这一切必须熟记 2 反函数 1 在写指数函数或对数函数的反函数时 注意函数的定义域且底数必须相同 2 互为反函数的两个函数在各自的定义域内单调性相同 3 对数函数与指数函数互为反函数 因此 对数函数图象画法有两种 一是描点法 二是利用指数函数与对数函数互为函数的关系作图 4 互为反函数的两个函数的定义域与值域发生互换 即原函数的定义域是反函数的值域 原函数的值域是反函数的定义域 5 互为反函数的两函数的图象关于直线y x对称 祝同学们学习上天天有进步
