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1、 2 1 确定性现象和不确定性现象 2 随机现象 在个别试验中其结果呈现出不确定性 在大量重复试验中其结果又具有统计规律性 第一章概率论的基本概念 前言 3 概率与数理统计的广泛应用 3 1 随机试验 E1 抛一枚硬币 观察正 H 反 T 面的情况 E2 将一枚硬币抛三次 观察正反面出现的情况 E3 将一枚硬币抛三次 观察出现正面的情况 举例 我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验称为试验 E4 电话交换台一分钟内接到的呼唤次数 E5 在一批灯泡中任取一只 测试它的寿命 4 随机试验 1 可在相同的条件下重复试验 2 每次试验的结果不止一个 且能事先明确所有可能的结果 3 一次试验前不能
2、确定会出现哪个结果 5 2 样本空间与随机事件 一 样本空间 定义随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间 记为S 样本空间的元素称为样本点 用 表示 样本空间的分类 1 离散样本空间 样本点为有限个或可列个 例E1 E2等 2 无穷样本空间 样本点在区间或区域内取值 例灯泡的寿命 t t 0 6 二 随机事件 定义样本空间S的子集称为随机事件 简称事件 在一次试验中 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时 称这一事件发生 基本事件 复合事件 必然事件 不可能事件 由一个样本点组成的单点集 如 H T 由两个或两个以上的基本事件复合而成的事件为复合事件 如 E3中 出现正面次数为奇数
3、样本空间S是自身的子集 在每次试验中总是发生的 称为必然事件 空集 不包含任何样本点 它在每次试验中都不发生 称为不可能事件 7 例1 试确定试验E2中样本空间 样本点的个数 并给出如下事件的元素 事件A1 第一次出现正面 事件A2 恰好出现一次正面 事件A3 至少出现一次正面 8 三 事件间的关系与事件的运算 1 包含关系和相等关系 若事件A发生必然导致事件B发生 则称件B包含事件A 记作A B 若A B且A B 即A B 则称A与B相等 9 2 和事件 3 积事件 事件A B x x A且x B 称A与B的积 即事件A与B同时发生 A B可简记为AB 类似地 事件为可列个事件A1 A2 的
4、积事件 10 4 差事件 事件A B x x A且x B 称为A与B的差 当且仅当A发生 B不发生时事件A B发生 即 显然 A A A A A S 11 5 事件的互不相容 互斥 12 6 对立事件 逆事件 13 7 事件的运算律 交换律 结合律 对偶律 分配律 14 例 甲 乙 丙三人各射击一次 事件A1 A2 A3分别表示甲 乙 丙射中 试说明下列事件所表示的结果 15 3 概率的概念 一 古典定义 等可能概型的两个特点 例如 掷一颗骰子 观察出现的点数 1 样本空间中的元素只有有限个 2 试验中每个基本事件发生的可能性相同 概率的古典定义 对于古典概型 样本空间S 1 2 n 设事件A
5、包含S的k个样本点 则事件A的概率定义为 16 古典概型概率的计算步骤 1 选取适当的样本空间S 使它满足有限等可能的要求 且把事件A表示成S的某个子集 2 计算样本点总数n及事件A包含的样本点数k 3 用下列公式计算 17 例1 袋中装有4只白球和2只红球 从袋中摸球两次 每次任取一球 有两种式 a 放回抽样 b 不放回抽样 求 1 两球颜色相同的概率 2 两球中至少有一只白球的概率 例2 设一袋中有编号为1 2 9的球共9只 现从中任取3只 试求 1 取到1号球的概率 事件A 2 最小号码为5的概率 事件B 18 例3 某接待站在某一周曾接待过12次来访 且都是在周二和周四来访 问是否可以
6、推断接待时间是有规定的 19 二 几何定义 定义 20 定义当随机试验的样本空间是某个区域 并且任意一点落在度量 长度 面积 体积 相同的子区域是等可能的 则事件A的概率可定义为 说明当古典概型的试验结果为连续无穷多个时 就归结为几何概率 21 例1甲 乙两人相约在0到T这段时间内 在预定地点会面 先到的人等候另一个人 经过时间t t T 后离去 设每人在0到T这段时间内各时刻到达该地是等可能的 且两人到达的时刻互不相关 求甲 乙两人能会面的概率 会面问题 22 蒲丰投针试验 例21777年 法国科学家蒲丰 Buffon 提出了投针试验问题 平面上画有等距离为a 0 的一些平行直线 现向此平面
7、任意投掷一根长为l a 的针 试求针与任一平行直线相交的概率 23 几何概型的概率的性质 1 对任一事件A 有 24 三 统计定义 一 频率1 在相同的条件下 共进行了n次试验 事件A发生的次数nA 称为A的频数 nA n称为事件A发生的频率 记为fn A 3 频率的特性 波动性和稳定性 25 1 定义 设S是样本空间 E是随机试验 对于E的每个事件A对应一个实数P A 称为事件A的概率 其中集合函数P 满足下列条件 1 对任一事件A 有P A 0 非负性 2 P S 1 规范性 3 设A1 A2 是两两互不相容的事件 则有P A1 A2 P A1 P A2 可列可加性 四 概率公理化定义 2
8、6 2 概率的性质 一般地有 P B A P B P AB 27 推广 28 例4 设P A p P B q P AB r 用p q r表示下列事件的概率 29 5 条件概率 一 条件概率 设试验E的样本空间为S A B是事件 要考虑在A已经发生的条件下B发生的概率 这就是条件概率问题 例1 老王的妻子一胎生了3个孩子 已知老大是女孩 求另两个也都是女孩的概率 假设男孩 女孩出生率相同 30 2 性质 条件概率符合概率定义中的三个条件 即 此外 条件概率具有无条件概率类似性质 例如 31 注 当A S时 P B S P B 条件概率化为无条件概率 因此无条件概率可看成条件概率 计算条件概率有两
9、种方法 1 公式法 32 2 缩减样本空间法 在A发生的前提下 确定B的缩减样本空间 并在其中计算B发生的概率 从而得到P B A 例2 在1 2 3 4 5这5个数码中 每次取一个数码 取后不放回 连取两次 求在第1次取到偶数的条件下 第2次取到奇数的概率 33 二 乘法公式 P AB 0 则有P ABC P A P B A P C AB 推广 34 35 三 全概率公式和贝叶斯公式 1 样本空间的划分 注 1 若B1 B2 Bn是样本空间S的一个划分 则每次试验中 事件B1 B2 Bn中必有一个且仅有一个发生 36 2 全概率公式 称为全概率公式 3 贝叶斯公式 37 例4 某电子设备厂所
10、用的晶体管是由三家元件制造厂提供的 数据如下 元件制造厂次品率提供的份额10 020 1520 010 8030 030 05 1 任取一只晶体管 求它是次品的概率 2 任取一只 若它是次品 则由三家工厂生产的概率分别是多少 38 例5 对以往数据分析结果表明 当机器调整得良好时 产品的合格率为90 而当机器发生某一故障时 其合格率为30 每天早晨机器开动时机器调整良好的概率为75 试求已知某日早上第一件产品是合格品时 机器调整得良好的概率是多少 39 1 6独立性 设A B是试验E的两事件 当P A 0 可以定义P B A 一般地 P B A P B 但当A的发生对B的发生的概率没有影响时
11、有P B A P B 由乘法公式有P AB P A P B A P A P B 例如设试验E为掷甲 乙两枚硬币 观察正反面出现情况 设A 甲币出现H B 乙币出现H 试求 B发生的条件下 A发生的概率 A发生的概率 1 定义 设A B是两事件 如果满足等式P AB P A P B 则称事件A与事件B是相互独立的事件 40 由定义可知 1 零概率事件与任何事件都是相互独立的 2 由对称性 A B相互独立 必有B A相互独立 如果对于任意的k k n 任意的1 i1 i2 ik n都有 P Ai1Ai2 Aik P Ai1 P Ai2 P Aik 则称这n个事件相互独立 41 3 定理 设A B是
12、两事件 且P A 0 则A B相互独立的充要条件是 P B A P B 有关结论 42 三 利用独立性计算古典概率 1 计算相互独立的积事件的概率 若已知n个事件A1 A2 An相互独立 则P A1A2 An P A1 P A2 P An 2 计算相互独立事件的和的概率 若已知n个事件A1 A2 An相互独立 则 例1 两架飞机依次轮番对同一目标投弹 每次投下一颗炸弹 每架飞机各带3颗炸弹 第1架扔一颗炸弹击中目标的概率为0 3 第2架的概率为0 4 求炸弹未完全耗尽而击中目标的概率 43 44 45 第一章习题课 一 主要内容 样本空间 随机事件 概率定义及性质 古典概型 条件概率 全概率公
13、式 Bayes公式 事件的独立性 46 二 课堂练习 1 选择题 1 当事件A与B同时发生 事件C必发生 则有 A P C P AB B P C P A B C P C P A P B 1 D P C P A P B 1 47 2 填空题 2 设两个事件A B相互独立 A B都不发生的概率为1 9 A发生而B不发生的概率与B发生而A不发生的概率相等 则P A 3 计算题 48 设甲箱中有a只白球 b只黑球 乙箱中有c只白球 d只黑球 从甲箱中任取一球放入乙箱中 然后从乙箱中任取一球 试求从乙箱中取得白球的概率 有n个不同 可辨别 的球 每个球都以同样的概率1 N被投到N n N 个箱子中的每一
14、箱中 试求下列事件的概率 1 某指定的n个箱子中各一球 A 2 恰有n个箱 其中各有一球 B 3 某指定箱中恰有m m n 个球 C 4 恰有k个箱子 其中有m个球 D 3 在一个盒子中混有新旧两种乒乓球 新的有白球40个 红球30个 旧球中有白球20个 红球10个 在这个盒子中任取一球 发现是新的 求这个球是白球的概率 49 第二章随机变量及其分布 2 1随机变量 即X e 是定义在样本空间S上的一个实函数 对于不同的试验结果e X取不同的值 由于试验前不能预料e的取值 因而X取1还是取0也是随机的 故称X e 为随机变量 50 1 定义 设随机试验E的样本空间是S e 若对于每一个e S
15、有一个实数X e 与之对应 即X e 是定义在S上的单值实函数 称为随机变量 简记为r v 注 1 可用随机变量X描述事件 反过来 X的一个变化范围表示一个随机事件 2 X 5 表示事件 掷出的点数大于2且小于5 51 2 分类 2 随机变量随着试验的结果而取不同的值 在试验之前不能确切知道它取什么值 但是随机变量的取值有一定的统计规律性 概率分布 1 离散型随机变量 2 非离散型随机变量 10连续型随机变量 20奇异型随机变量 若随机变量全部可能取到的值是有限多个或可列无限多个 52 2 2离散型随机变量的概率分布 53 2 求分布律的步骤 1 明确X的一切可能取值 2 利用概率的计算方法计
16、算X取各个确定值的概率 即可写出X的分布律 例1 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯 每盏信号灯以概率p禁止汽车通过 以X表示汽车首次停下时已通过信号灯的盏数 求X的分布律 设各信号灯的工作是相互独立的 例2 袋中装有4只红球和2只白球 从袋中不放回地逐一地摸球 直到第一次摸出红球为止 设X表示到第一次摸出红球时所摸的次数 求X的分布律 54 3 几种重要的离散型r v 的分布律 一 0 1分布 二 贝努利试验 二项分布 55 例1 设X是n重贝努利试验中事件A发生的次数 成功的概率为p 则X是一个随机变量 我们来求它的分布律 若n 4 求 P X k k 0 1 2 3 4 当n 1时 P X k pk 1 p 1 k k 0 1 即为0 1分布 注 56 例2 某种电子元件的使用寿命超过1500小时为一级品 已知一大批该产品的一级品率为0 2 从中随机抽查20只 求这20只元件中一级品只数X的分布律 例3 某人进行射击 每次命中率为0 02 独立射击400次 试求至少击中两次的概率 57 三 泊松分布 Poisson 2 泊松分布有很多应用 注 3 二项分布与泊松分布之间
