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1、江苏省南京市江宁区2020学年高二数学下学期期末学情调研卷（含解析）一、填空题：请把答案填写在答题卡相应位置上.1.设集合，则集合_.【答案】【解析】【分析】根据集合,，求出两集合的交集即可【详解】,故答案为【点睛】本题主要考查了集合交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题。2.已知为虚数单位，则复数_.【答案】【解析】【分析】由复数乘法法则即可计算出结果【详解】.【点睛】本题考查了复数的乘法计算，只需按照计算法则即可得到结果，较为简单3. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为_.【答案】7【解析】第一次循环：;第二次循环：;第三次循环：;结束循环，输出考点：循环结构流程
2、图4.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为_【答案】【解析】试题分析：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为，则一次取出2只球，基本事件为、共6种，其中2只球的颜色不同的是、共5种；所以所求的概率是考点：古典概型概率5.交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在的汽车中抽取300辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在以下的汽车有_辆.【答案】150【解析】【分析】先计算出速度在以下的频率，然后再计算出车辆的数量【详解】因为速度在以下的频率为，所以速度在以下的汽车有.【点睛】本题考查了频率
3、分布直方图的应用求解实际问题，先计算出频率，然后再计算出结果，较为简单6.函数的定义域是_.【答案】【解析】【分析】对数函数的定义域满足真数要大于零【详解】由，解得，故定义域为.【点睛】本题考查了对数的定义域，只需满足真数大于零即可，然后解不等式，较为简单7.设函数（，为常数，且，）的部分图象如图所示，则_.【答案】【解析】【分析】由图像可以计算出，的值，即可得到三角函数表达式，然后计算出结果【详解】由图可知：，由，得，从而.将点代入，得，即，又，所以，得.所以.【点睛】本题考查了由函数图像求三角函数的表达式，熟练掌握图像是解题关键，较为基础8.记等差数列的前项和为，若，则_【答案】14【解析
4、】【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=4，d=2，由此能求出S7【详解】等差数列an的前n项和为Sn，a3=0，a6+a7=14，解得a1=4，d=2，S7=7a1+=28+42=14故答案为：14【点睛】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题9.在平面直角坐标系中，抛物线的焦点恰好是双曲线的一个焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为_.【答案】【解析】【分析】由题意计算出抛物线焦点坐标，即可得到双曲线焦点坐标，运用双曲线知识求出的值，即可得到渐近线方程【详解】因为抛物线的焦点为，所以双曲线的半焦距，解得，故其渐
5、近线方程为，即.【点睛】本题考查了求双曲线的渐近线方程，结合题意分别计算出焦点坐标和的值，然后可得渐近线方程，较为基础10.已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥的体积为_.【答案】【解析】分析：由题意首先求解底面积，然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积.详解：由题意可得，底面四边形为边长为的正方形，其面积，顶点到底面四边形的距离为，由四棱锥的体积公式可得：.点睛：本题主要考查四棱锥的体积计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.如图，在梯形中，如果，则_.【答案】【解析】试题分析：因为，所以考点：向量数量
6、积12.定义在上的奇函数，当时，则函数的所有零点之和为_.【答案】【解析】【分析】画出奇函数的图像，将题意转化为函数的图象与直线的交点的横坐标的和【详解】由，得，则的零点就是的图象与直线的交点的横坐标.由已知，可画出的图象与直线（如下图），根据的对称性可知：，同理可得，则从而，即与的交点的横坐标.由，解得，即的所有零点之和为.【点睛】本题考查了函数零点和问题，解题关键是转化为两个函数交点问题，需要画出函数的图像并结合函数的性质来解答，本题需要掌握解题方法，掌握数形结合思想解题13.在平面直角坐标系中，曲线在处的切线为，则以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_.【答案】【解
7、析】【分析】由题意先求出切线为的直线方程，可得直线恒过定点，在满足题意与直线相切的所有圆中计算出圆半径，即得圆的标准方程【详解】因为，所以，当时，即切点为，切线斜率，则的方程为，即，所以直线恒过定点.又直线与以点为圆心的圆相切，则圆的半径等于圆心到直线的距离，又当时，最大，所以，故所求圆的标准方程为.【点睛】本题考查了求与直线相切的圆的标准方程，需先求出切线方程，解题关键是理解题意中半径最大的圆，即圆心与定点之间的距离，需要具有转化的能力14.设，关于的不等式在区间上恒成立，其中，是与无关的实数，且，的最小值为1.则的最小值_.【答案】【解析】【分析】化简，结合单调性及题意计算出，的表达式，由
8、的最小值为1计算出结果【详解】因为，所以在上单调递增，又关于的不等式在上恒成立，所以，因为的最小为1，所以，即，所以，当且仅当，即时取“”，即的最小值为.【点睛】本题考查了计算最值问题，题目较为复杂，理清题意，结合函数的单调性求出最值，运用基本不等式计算出结果，紧扣题意是解题关键，考查了学生转化能力二、解答题：请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，内角，所对的边分别为，.已知，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)运用余弦定理计算出的值(2)由正弦定理计算出的值，运用两角和的正弦公式计算出结果【详解】（1）解：在中，因
9、为，故由，可得.由已知及余弦定理，有，所以.（2）解：由正弦定理，得.因为，得，所以，故【点睛】本题考查了运用正弦定理、余弦定理解三角形，熟练运用公式来解题，较为简单16.三棱锥中，平面平面，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）若，求证：平面【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析：(1)利用题意证得，由线面平行的结论有平面 ；(2)利用题意可得：，结合线面垂直的结论则有平面试题解析：（1），分别为，的中点 平面，平面平面 （2），为的中点 平面平面，平面平面，平面平面 平面 ， 平面，平面，平面 点睛：注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂
10、直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”17.为迎接新中国成立70周年，学校布置一椭圆形花坛，如图所示，是其中心，是椭圆的长轴，是短轴的一个端点.现欲铺设灌溉管道，拟在上选两点，使，沿、铺设管道，设，若，（1）求管道长度关于角的函数及的取值范围；（2）求管道长度的最小值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】(1)由三角函数值分别计算出、的长度，即可求出管道长度的表达式，求出的取值范围(2)由(1)得管道长度的表达式，运用导数，求导后判断其单调性求出最小值【详解】解：（1）因为，所以，其中，.（2）由，得，令，当时，函数增函数；当时，函数为减函数.所以，当，即时，答：管道长度的最小值为.【点
11、睛】本题考查了运用三角函数求解实际问题，在求最值时可以采用求导的方法判断其单调性，然后求出最值，需要掌握解题方法18.平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.椭圆的左顶点为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作直线与椭圆交于另一点.若直线交轴于点，且，求直线的斜率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由题意中椭圆离心率和点在椭圆上得到方程组即可求出椭圆方程(2)由题意设直线斜率，分别求出、的表达式，令其相等计算出直线斜率【详解】解：（1）由题意知：解得：，所以，所求椭圆方程为.（2）由题意知直线的斜率存在，设为，过点，则的方程为：，联立方程组，消去整理得：，令，由，得，将代入
12、中，得到，所以，由，得：，解得：，.所以直线的斜率为.【点睛】本题考查了求椭圆方程及直线与椭圆的位置关系，在解答过程中运用设而不求的方法，设出点坐标和斜率，联立直线方程与椭圆方程，结合弦长公式计算出长度，从而计算出结果，需要掌握解题方法19.若各项均为正数的数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若正项等比数列，满足，求；（3）对于（2）中的，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）见解析；（3）【解析】【分析】(1)先计算出的值，由，推出数列为等差数列，继而得到数列通项公式(2)先求出等比数列的通项公式，运用错位相减法计算出的值(3)讨论为偶数和奇数时两种情
13、况，分别求出满足要求的实数的取值范围，即可得到结果【详解】解：（1）因为，且，由得，又，所以，因为，所以，所以，所以是公差为2的等差数列，又，所以.（2）设的公比为，因为，所以（舍）或，.记，所以.（3）不等式可化为.当为偶数时，记，所以.，时，时，即，时，递增，即，当为奇数时，记，所以.，时，时，即，时，递减，所以综上所述，实数的取值范围为【点睛】本题考查了求数列的通项公式，运用错位相减法求数列的和以及恒成立问题，在求解通项公式时可以运用 的方法，需要掌握错位相减法等求数列的和，在解答恒成立问题时将其转化为函数问题，注意分类讨论20.已知函数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若不等式对于任意恒成立，求正实数的取值范围.【答案】(1) 当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在和上单调递增. (2) 【解析】【分析】(1)对函数求导得到，讨论a和0和1的大小关系，从而得到单调区间；（2）原题等价于对任意，有成立，设，所以，对g(x)求导研究单调性，从而得到最值，进而求得结果.【详解】（）函数的定义域为 若，则 当或时，单调递增； 当时，单调递减； 若，则当时，单调递减； 当时，单调递增； 综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在和上单调递增 （）原题等价于对任意，有成立，设，所以
