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1、轴对称全章复习与巩固（提高）【学习目标】1. 认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质及它们的简单应用；2. 了解垂直平分线的概念，并掌握其性质；3. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法.【知识网络】【高清课堂：轴对称复习，本章概述】知识点一：轴对称1.轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个
2、图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形2.线段的垂
3、直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.知识点二：作轴对称图形 1.作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.2.用坐标表示轴对称点（,）关于轴对称的点的坐标为（,）；点（,）关于轴对称的点的坐标为（,）；点（,）关于原点对称的点的坐标为（,）.知识点三：等腰三
4、角形 1.等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质 等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等 边”）.2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60.（3）等边三角形的判定： 三条边都相等的三角形是等边三角形； 三个角都相等的三角形是等边三角形； 有一个角为
5、60的等腰三角形是等边三角形.3.直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.【典型例题】类型一、轴对称的性质与应用1、如图，由四个小正方形组成的田字格中，ABC的顶点都是小正方形的顶点在田字格上画与ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含ABC本身）共有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C；【解析】先把田字格图标上字母如图，确定对称轴找出符合条件的三角形，再计算个数HEC与ABC关于CD对称；FDB与ABC关于BE对称；GED与ABC关于HF对称；关于AG对称的是它本身所以共3个【点评】本题考查
6、了轴对称的性质；确定对称轴然后找出成轴对称的三角形是解题的关键举一反三：【变式】如图，ABC的内部有一点P，且D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点若ABC的内角A70，B60，C50，则ADBBECCFA（ ）A.180 B.270 C.360 D.480【答案】C；解：连接AP，BP，CP，D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点ADBAPB，BECBPC，CFAAPC，ADBBECCFAAPBBPCAPC3602、已知MON40，P为MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当PAB的周长取最小值时，求APB的度数. 【答案与解析】解：分别作P关于OM、O
7、N的对称点，连接交OM于A，ON于B.则PAB为符合条件的三角形.MON40 140. PAB,PBA. (PABPBA)APB140PABPBA2APB280 PAB, PBA180 APB100【点评】求周长最小，利用轴对称的性质，找到P的对称点来确定A、B的位置，角度的计算，可以通过三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算.举一反三：【变式】如图，在五边形ABCDE中，BAE120，BE90，ABBC，AEDE，在BC，DE上分别找一点M，N，使得AMN的周长最小时，则AMNANM的度数为（ ）A100 B110 C 120 D 130【答案】C；提示：找A点关于BC的对称点，关于ED的对
8、称点，连接，交BC于M点，ED于N点，此时AMN周长最小. AMNANM180MAN，而2BAMAMN，2EANANM，BAMEANMAN120,所以AMNANM120.3、如图，ABC关于平行于轴的一条直线对称，已知A点坐标是（1，2），C点坐标是（1，4），则这条平行于轴的直线是（）A.直线1 B.直线3 C.直线1 D.直线3【答案】C；【解析】解：由题意可知，该条直线垂直平分线段AC又A点坐标是（1，2），C点坐标是（1，4）AC6点A，C到该直线的距离都为3即可得直线为1【点评】根据题意，可得A、C的连线与该条直线垂直，且两点到此直线的距离相等，从而可以解出该直线 举一反三：【变式1
9、】如图，若直线经过第二、四象限，且平分坐标轴的夹角，RtAOB与Rt关于直线对称，已知A（1，2），则点的坐标为（）A.（1，2） B.（1，2） C.（1，2） D.（2，1）【答案】D；提示：因为RtAOB与Rt关于直线对称，所以通过作图可知，的坐标是（2，1）【高清课堂：轴对称复习：例10】【变式2】如图，ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），点B的坐标为（3，1），如果要使ABD与ABC全等，求点D的坐标 【答案】解：满足条件的点D的坐标有3个（4，1）；（1，1）；（1，3）.类型二、等腰三角形的综合应用4、如图所示，在RtABC中，ABAC，A90，点D为BC上
10、任一点，DFAB于F，DEAC于E，M为BC的中点，试判断MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论【答案与解析】解：MEF是等腰直角三角形证明如下：连接AM，M是BC的中点，BAC90，ABAC，AMBCBM，AM平分BACMACMABBAC45ABAC，DEAC，DFAB，DEAB，DFACBAC90，四边形DFAE为矩形DFAEDFBF，B45BDFB45BFFDAEBFAEMBFM（SAS）EMFM，AMEBMFAMFBMF90，AMEAMFEMF90，MEF是等腰直角三角形【点评】根据已知，利用SAS判定AEMBFM，从而得到EMFM；根据角之间的关系可求得EMF90，即MEF是等腰直
11、角三角形 5、已知，如图，112，236，348，424. 求的度数【答案与解析】ACD123B5E解：将沿AB翻折，得到，连结CE，则，1512.6048又236，72，BEBC为等边三角形. 又垂直平分BCAE平分30ADB30【点评】直接求很难，那就想想能不能通过翻折或旋转构造一个与全等的三角形，从而使其换个位置，看看会不会容易求举一反三：【变式】在ABC中，ABAC，A80，D为形内一点，且DABDBA10，求ACD的度数.【答案】解：作D关于BC中垂线的对称点E，连结AE，EC，DE ABDACE ADAE, DABEAC10 A=80，DAE60，ADE为等边三角形AED60 DA
12、BDBA10 ADBDDEEC AEC160， DEC140 DCE20 ACD30类型三、等边三角形的综合应用6、如图所示，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，DMN为等边三角形(1)如图(1)所示，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？ (2)如图(2)所示，当点M在BC上时，其他条件不变，(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图(2)证明；若不成立，请说明理由【答案与解析】解：(1)ENMF，点F在直线NE上 证明：连接DF，DE， ABC是等边三角形， ABACBC 又 D，E，F是ABC三边的中点， DE，DF，EF为三角形的中位线 DEDFEF，FDE60又MDNNDFMDF，NDFFDENDE，DMN为等边三角形，DMDN，MDN60 MDFNDE 在DMF和DNE中， DMFDNE， MFNE，DMFDNE.DMF60DNEMFNMFN60FNAB，又EFAB，E、F、N在同一直线上. (2)成立证明：连结DE，DF，EF， ABC是等边三角形， ABACBC 又 D，E，F是ABC三边的中点， DE，DF，EF为三角形的中位线 DEDFEF，FDE60 又MDFFDN60，ND
