202X年因子模型与套利定价理论

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1、第六章因子模型和套利定价理论 APT 为了得到投资者的最优投资组合 要求知道 回报率均值向量回报率方差 协方差矩阵无风险利率估计量和计算量随着证券种类的增加以指数级增加 引入可以大大简化计算量由于因子模型的引入 使得估计Markowitz有效集的艰巨而烦琐的任务得到大大的简化 因子模型还给我们提供关于证券回报率生成过程的一种新视点更准确 CAPM与APT建立在均值 方差分析基础上的CAPM是一种理论上相当完美的模型 它解释了为什么不同的证券会有不同的回报率 除CAPM理论外 另一种重要的定价理论是由StephenRoss在70年代中期建立的套利定价理论 APT 在某种意义上来说 它是一种比CA

2、PM简单的理论 最优投资组合理论 市场均衡 CAPM因子模型 无套利 APT CAPM是建立在一系列假设之上的非常理想化的模型 这些假设包括HarryMarkowitz建立均值 方差模型时所作的假设 这其中最关键的假设是 所有投资者的无差异曲线建立在证券组合回报率的期望和标准差之上 相反 APT所作的假设少得多 APT的基本假设之一是 当投资者具有在不增加风险的前提下提高回报率的机会时 每个人都会利用这个机会 即 个体是非满足的 另外一个重要的假设是 证券市场证券种类特别多 并且彼此之间独立 1 因子模型 FactorModel 实际中 所有的投资者都会明显或者不明显地应用因子模型 例子 市场

3、模型这里 在给定的时间区间 证券i的回报率 在同一时间区间 市场指标I的回报率 截矩项 斜率项 随机误差项 例子 Flyer公司股票的下一个月回报率这里表示实际月回报率表示期望回报率表示回报率的非期望部分期望回报率是市场中投资者预期到的回报率 依赖于投资者现在获得地关于该种股票的所有信息 以及投资者对何种因素影响回报率地全部了解 回报率的非期望部分由下一个月内显示地信息导致 例如NewsaboutFlyers researchGovernmentfiguresreleasedonthegrossnationalproduct GNP Resultsofthelatestarms control

4、talksDiscoverythatarival sproducthasbeentamperedwithNewsthatFleyers salesfiguresarehigherthanexpectedAsuddendropininterestratesTheunexpectedretirementofFlyers founderandpresident Announcement Expectedpart SurpriseTheexpectedpartofanyannouncementispartoftheinformationthemarketusestoformtheexpectation

5、ofthereturnonthestock Thesurpriseisthenewsthatinfluencestheunanticipatedreturnonthestock Whenwespeakofnews then werefertothesurprisepartofanyannouncementandnottheportionthatthemarkethasexpectedandthereforehasalreadydiscounted Theunanticipatedpartofreturn thatportionresultingfromsurprise isthetrueris

6、kofanyinvestment 这里由于系统原因导致的回报率的非期望部分由于非系统原因导致的回报率的非期望部分 经济系统中的某些共同因素影响几乎所有的公司商业周期 利率 GDP增长率 技术进步 劳动和原材料的成本 通货膨胀率这些变量不可预期的变化将导致整个证券市场回报率的不可预期变化定义1 因子模型 或者指标模型 是一种假设证券的回报率只与不同的因子或者指标的运动有关的经济模型 市场模型是一种单因子模型 以市场指标的回报率作为因子 由于在实际中 证券的回报率往往不只受市场指标变动的影响 所以 在估计证券的期望回报率 方差以及协方差的准确度方面 多因子模型比市场模型更有效 作为一种回报率产生过

7、程 因子模型具有以下几个特点 第一 因子模型中的因子应该是系统影响所有证券价格的经济因素 第二 在构造因子模型中 我们假设两个证券的回报率相关 一起运动 仅仅是因为它们对因子运动的共同反应导致的 第三 证券回报率中不能由因子模型解释的部分是该证券所独有的 从而与别的证券回报率的特有部分无关 也与因子的运动无关 因子模型在证券组合管理中的应用在证券组合选择过程中 减少估计量和计算量刻画证券组合对因子的敏感度 如果假设证券回报率满足因子模型 那么证券分析的基本目标就是 辨别这些因子以及证券回报率对这些因子的敏感度 2 单因子模型 把经济系统中的所有相关因素作为一个总的宏观经济指标 假设它对整个证券

8、市场产生影响 并进一步假设其余的不确定性是公司所特有的 例如 国内生产总值GDP的预期增长率是影响证券回报率的主要因素 表6 1因子模型数据年份GDP增长率A股票回报率15 7 14 3 26 419 237 923 447 015 655 19 262 913 0 4 图6 1中 横轴表示GDP的预期增长率 纵轴表示证券A的回报率 图上的每一点表示表6 1中 在给定的年份 A的回报率与GDP增长率的关系 通过线性回归分析 我们得到一条符合这些点的直线 这条直线的斜率为2 说明A的回报率与GDP增长率有正的关系 GDP增长率越大 A的回报率越高 写成方程的形式 A的回报率与GDP预期增长率之间

9、的关系可以表示如下 6 1 这里 A在t时的回报率 GDP在t时的预期增长率 A在t时的回报率的特有部分 A对GDP的预期增长率的敏感度 有关GDP的零因子 在图6 1中 零因子是4 这是GDP的预期增长率为零时 A的回报率 A的回报率对GDP增长率的敏感度为2 这是图中直线的斜率 这个值表明 高的GDP的预期增长率一定伴随着高的A的回报率 如果GDP的预期增长率是5 则A的回报率为14 如果GDP的预期增长率增加1 为6 时 则A的回报率增加2 或者为16 在这个例子里 第六年的GDP的预期增长率为2 9 A的实际回报率是13 因此 A的回报率的特有部分 由给出 为3 2 给定GNP的预期增

10、长率为2 9 从A的实际回报率13 中减去A的期望回报率9 8 就得到A的回报率的特有部分3 2 从这个例子可以看出 A在任何一期的回报率包含了三种成份 1 在任何一期都相同的部分 2 依赖于GDP的预期增长率 每一期都不相同的部分 3 属于特定一期的特殊部分 通过分析上面这个例子 可归纳出单因子模型的最一般形式 对时间t的任何证券i有 6 2 这里 是因子在时间t的因子的值 对在时间t的所有的证券而言 它是相同的 是证券i对因子的敏感度 对证券i而言 不随时间的变化而变化 是证券i在时间t的回报率的特有部分 这是一个均值为0 标准差为 且与因子无关的随机变量 我们以后简称为随机项 为简单计

11、只考虑在某个特定的时间的因子模型 从而省掉角标 从而 6 2 式变为 6 3 并且假设 1 任意证券i的随机项与因子不相关 2 任意证券i与证券j的随机项与不相关 假设1说明 因子具体取什么值对随机项没有影响 而假设2说明 一种证券的随机项对其余任何证券的随机项没有影响 换言之 两种证券之所以相关 是由于因子对它们的共同影响导致的 如果任何假设不成立 则单因子模型不准确 应该考虑不同的因子模型 对于证券i而言 其回报率的均值 6 4 例子 与Flyer公司股票回报率例子比较 对于证券i而言 其回报率的方差为 6 5 例子 定义2 我们称 6 5 式中的为因子风险 为非因子风险 对于证券i和j而

12、言 它们之间的协方差为 6 6 单因子模型具有两个重要的性质 第一个性质 单因子模型能够大大简化我们在均值 方差分析中的估计量和计算量 第二个性质与风险的分散化有关 分散化导致因子风险的平均化 分散化缩小非因子风险 3多因子模型 经济是否健康发展影响绝大多数公司的前景 因此 对将来经济预期的变化会对大多数证券的回报率产生深远的影响 但是 经济并不是一个简单的单一体 用单一的因子来刻画整个经济显然是不准确的 一般来说 下面的几种因素会对整个经济产生普遍的影响 1 GDP的增长率2 短期国库券的利率水平3 长短期国债的收益率之差4 公司债与国债的收益率之差5 通货膨胀率6 石油价格7 技术进步 3

13、 1两因子模型 即 回报率生成过程包括两个因子 在t时的两因子模型方程为 6 10 这里和是影响证券回报率的主要因素 和是证券i对两因子的敏感度 是随机项 而是零因子回报率 例子表6 2因子模型数据年份GDP增长率通货膨胀率A股票回报率15 7 1 1 14 3 26 44 419 237 94 423 447 04 615 655 16 19 262 93 113 0 证券B的回报率受GDP的增长率和通货膨胀率预期值的影响 图中的每一点描述了在特定的一年 证券B的回报率 GDP的增长率和通货膨胀率之间的关系 通过线性回归 可以确定一个平面 使得图中的点符合这个平面 这个平面的方程为 平面在G

14、DP增长率方向的斜率 2 2 表示证券B的回报率对GDP增长率变化的敏感度 平面在通货膨胀率方向的斜率 0 7 表示证券B的回报率对通货膨胀率变化的敏感度 敏感度符号说明 当预期GDP增长率或者通货膨胀率增加时 证券B的回报率相应地增加或者减少 平面的截距表示B的零因子回报率为5 8 B的实际回报率与平面上对应点的差为回报率的随机项部分 例如 B在第六年的随机项为3 和单因子模型一样 我们只考虑一期的模型 所以省掉时间的角标 两因子模型方程如下 6 12 并且假设 1 证券的随机项与因子不相关 2 证券i与证券j的随机项与不相关 期望回报率方差协方差 两因子模型具有单因子模型的重要性质 1 有

15、关证券组合前沿的估计量和计算量大大减少 2 分散化导致因子风险的平均化 3 分散化缩小非因子风险 3 2多因子模型一般形式不同形式其中例子 4套利机会何谓套利机会 最简单的说法是 不花钱就能挣到钱 具体地说 有两种类型的套利机会 如果一种投资能够立即产生正的收益而在将来不需要有任何支付 不管是正的还是负的 我们称这种投资为第一类的套利机会 如果一种投资有非正的成本 但在将来 获得正的收益的概率为正 而获得负的收益 或者说正的支出 的概率为零 我们称这种投资为第二类的套利机会 任何一个均衡的市场 都不会存在这两种套利机会 如果存在这样的套利机会 人人都会利用 从而与市场均衡矛盾 所以我们假设市场

16、上不存在任何套利机会 套利活动是现代有效证券市场的一个关键原因 每个投资者都会充分利用套利机会只需要少数投资者的套利活动就能消除套利机会 近似的套利机会 almostarbitrage 性质首先 证券的定价满足线性性质 其次 有零的终端支付的证券组合 其价格一定为零 最后 证券的定价满足占优性质 例子 假设经济环境由四个状态和两种证券构成 证券组合甲由11份证券1构成 相关的信息特征如下表所示 状态证券组合甲153552565531031104103110假设事件的概率为P 1 0 2 P 2 0 3 P 34 0 5 两种证券的价格为P1 4 P2 2 证券组合甲的价格为P甲 40 在这个经济中是否存在套利机会 第一 P甲 40 11P1 44 这属于第一类套利机会 第二 我们把证券组合甲当作第三种证券 构造新的证券组合乙 卖空11份证券1 买入1份证券3 则证券组合乙的价格为 11 4 1 40 0 证券组合乙在期末的支付为状态证券组合乙概率100 2200 33 400 5因此 P 证券组合乙的支付 0 1 这是第一类的套利机会 第三 定义证券组合丙 卖空10份证券1 买入一份证