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1、秘密启用前2012年重庆一中高2012级高三高考适应性考试数学试题卷（理科） 数学试题共4页。满分150分。考试时间120分钟。注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。第卷（选择题，共分）一、选择题：（本大题 10个小题，每小题5分，共50分）（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须填涂在答题
2、卡上相应位置。）1.集合，则（ ）A. B. C. D.2.设随机变量服从正态分布，则为（ ）A2 B3 C4 D53.设，为自然对数的底数，则“且”是“函数在实数集上连续”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件4.可行域内的点到圆上的点的距离最大值为（ ）A. B.4 C. D.5.底棱长为2，高为1的正四棱柱内接于球，则球的表面积为（ ）A. B. C. D.6.将函数的图象按向量平移后所得图象关于点成中心对称，则向量的坐标可能为（ ）A B C D 7.重庆一中的8位高三好朋友同学坐成一排照相作为毕业留念，若现要调换其中3个人中每个人的位置
3、，其余5人的位置不变，则不同的调换方式有（ ）种A.2 B.112 C.56 D.1108.定义方程的实数根叫做函数的“可导不动点”，如果函数，的“可导不动点”分别为，那么的大小关系是（ ）A B C D9.设中，为内角的平分线，交边于点，则（ ）A. B. C. D.ABCDD1C1A1B110.如图，在棱长为的正方体的面所在平面内有一动点，满足到棱所在直线的距离等于到棱所在直线的距离，延长棱至点，使得，过点作直线交动点的轨迹在直线的同侧部分于点，再分别过作轨迹的切线交于点，则的面积的最小值为（ ）A. B.C. D.第卷（非选择题，共分）二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）
4、（各题答案必须填写在答题卡相应位置上，只填结果，不要过程）。11.是虚数单位，则_。12.已知抛物线的焦点为，为坐标原点，为抛物线上的一象限内的点，且，则点的坐标为 。13.设，已知，两边对求导可得，据此，则极限_。14已知数列中，对任意，都成立，则数列中的最大项的值为_。15.定义在上的奇函数，当时，则关于的方程的所有解之和为_。（用表示）三、解答题：（本大题6个小题，共75分）（各题解答必须答在答题卷上相应题目指定的方框内，必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程。）16.（本小题满分13分，（1）小问6分，（2）小问7分）已知向量，向量，函数（且）。（1）求的解析式，并求函数的单调递减
5、区间；（2）在中，角的对边分别为，已知的面积为，求的值。17（本小题满分13分，（1）小问6分，（2）小问7分）为了拓展网络市场，腾讯公司为用户推出了多款应用，如“游戏”、“音乐”、“读书”、“邮箱”等。市场调查表明、用户在选择以上四种应用时，选择游戏、音乐、读书、邮箱的概率分别为。现有甲、乙、丙、丁四位用户独立任意选择以上四种应用中的一种进行添加。（1）求四人所选择的应用互不相同的概率；（2）记为四人中选择的应用是游戏或音乐的人数，求的分布列与数学期望。18（本小题满分13分，（1）小问6分，（2）小问7分）已知函数，其中的常数。（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；（2）求函数在区间
6、上的最小值。19（本小题满分12分，（1）小问3分，（2）小问4分，（3）小问5分）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，侧面底面，是中点，交于。（1）求证：； （2）求二面角的大小；（3）求证：平面平面。20.（本小题满分12分，（1）小问3分，（2）小问4分，（3）小问5分）已知椭圆，分别为其左右焦点。（1）若椭圆的焦距为2，两准线间的距离为4，求椭圆的方程；（2）设为过椭圆的右焦点的弦，为弦的中点，连接线段并延长交椭圆于点，若为平行四边形，问是定值吗？证明你的结论；（3）设椭圆与轴负半轴的交点为，以为圆心的圆与椭圆相切于两个不同的点，求椭圆的离心率的取值范围。21.（本小题满分12分，（1）
7、小问3分，（2）小问4分，（3）小问5分）已知非零数列满足：对任意的正整数，若，则；又数列满足，。（1）求数列及的通项公式；（2）设，对一切正整数，若不等式恒成立，求的最小值；（3）设，且的前项和为，求证：。2012年重庆一中高2012级高三高考适应性考试数学试题（理科）参考答案1.B 2. C 3.A 4.D 5.A 6.C 7.B 8.D 9.C 10.D11. 12 13. 14 15.16.解：（1），（且）。单调递减区间为。（2），又，的面积为，所以，由余弦定理有，。17解：（1）四人所选择的应用互不相同的概率。（2）的取值为：0,1,2,3,4，每人选择的应用是游戏或音乐的概率，则
8、：，所以的分布列为：01234所以。18解：()，（1）因为曲线在点处的切线与直线平行，所以，即，解得。（2）当时，在上恒成立，这时在上为增函数，；当时，由得，对于有在上为减函数，对于有在上为增函数，。当时，在上恒成立，这时在上为减函数，。综上，当时，；当时，；当时，。 19解法一：（1）证明：，又平面平面ABCD，平面平面ABCDBC，平面ABCD， 在梯形ABCD中，可得，即，在平面ABCD内的射影为AO，。（2）解：，且平面平面ABCD，平面PBC，平面PBC，为二面角PDCB的平面角，是等边三角形，即二面角PDCB的大小为。（3）证明：取PB的中点N，连结CN， ，且平面平面ABCD，
9、平面PBC，平面PAB，平面平面PAB 由、知平面PAB， 连结DM、MN，则由MN/AB/CD，得四边形MNCD为平行四边形，平面PAB，平面PAD，平面平面PAB。解法二：取BC的中点O，因为是等边三角形，由侧面底面ABCD，得底面ABCD，以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系。（1），则在直角梯形中，在等边三角形PBC中， ，即。（2）取PC中点N，则,，平面PDC，显然，且平面ABCD，所夹角等于所求二面角的平面角。，二面角的大小为。（3）取PA的中点M，连结DM，则M的坐标为，又，即，平面PAB，平面平面PAB。20.解
10、：（1）。（2）法一：不妨设，则，相减得：，其中为斜率的倒数，又，则，则，由椭圆焦半径公式得：，于是，由四边形为平行四边形，则，代入椭圆方程有，从而为定值。法二：不妨设，则方程为，代入得，所以于是，下同法一。（3）设椭圆上点，又，则，且圆与椭圆相切于两个不同的点，可知为过点的椭圆最长弦，若；若，则与重合于短轴端点，与题意不合。所以，且，所以。21.解：（1）对任意的正整数，若，则，由于，所以，而，则，所以，即，即，于是（）。（2），对一切正整数，若不等式恒成立，即对一切正整数恒成立，当时，即，而数列递减，说明，但，不妨猜想。下证对一切正整数，。法一：因为，所以，从而原命题得证.法二：（由于直接用数归法不好证，采取主动加强命题）下面可以证明命题：。（i）当时，不等式成立；当时，左边右边左边右边，不等式成立。（ii）假设当时，成立。则当时，又，当时，不等式也成立。综上（i）、(ii)可知，成立。于是将命题加强为证明命题：。而易证。由于的最小值为2。（3），当时，验证易知不等式成立；当时，。11用心 爱心 专心
