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1、第六节解直角三角形及其应用 考点一锐角三角函数 5年0考 例1 2018 德州中考 如图 在4 4的正方形方格图形中 小正方形的顶点称为格点 ABC的顶点都在格点上 则 BAC的正弦值是 分析 先根据勾股定理的逆定理判断出 ABC的形状 再由锐角三角函数的定义即可得出结论 自主解答 由勾股定理可得AB2 32 42 25 BC2 12 22 5 AC2 22 42 20 AB2 BC2 AC2 ACB 90 ABC为直角三角形 sin BAC 故答案为 求三角函数值的方法在三角形中求一般角的三角函数值时 往往需要通过作三角形的高 构造一个包含所求角的直角三角形 然后利用三角函数的定义解决 在网
2、格图中求锐角的三角函数值 要充分利用格点之间连线的特殊位置构造直角三角形 借助勾股定理解答 1 2018 垦利模拟 如图 已知在Rt ABC中 C 90 AB 5 BC 3 则cosB的值是 A 2 2018 滨州中考 在 ABC中 C 90 若tanA 则sinB 考点二特殊角的三角函数值 5年5考 例2在 ABC中 若 sinA cosB 2 0 A B都是锐角 则 C 分析 根据绝对值及完全平方的非负性 可得出 A及 B的度数 再利用三角形的内角和定理即可得出 C的度数 自主解答 sinA cosB 2 0 sinA cosB 又 A B都是锐角 A 45 B 30 C 180 45 3
3、0 105 故答案为105 熟记特殊角的三角函数值的两种方法 1 按值的变化 30 45 60 角的正余弦的分母都是2 正弦的分子分别是1 余弦的分子分别是 1 正切分别是 1 2 特殊值法 在直角三角形中 设30 角所对的直角边为1 那么三边长分别为1 2 在直角三角形中 设45 角所对的直角边为1 那么三边长分别为1 1 3 李红同学遇到了这样一道题 tan 20 1 你猜想锐角 的度数应是 A 40 B 30 C 20 D 10 D 4 2017 烟台中考 在Rt ABC中 C 90 AB 2 BC 则sin 5 2015 东营中考 计算 1 2015 3 0 3 tan30 1 解 原
4、式 1 3 1 3 0 考点三解直角三角形 5年0考 例3 2018 自贡中考 如图 在 ABC中 BC 12 tanA B 30 求AC和AB的长 分析 过点C作CD AB 在直角三角形中求出AD BD 即可得解 自主解答 如图 过点C作CD AB于点D 在Rt BCD中 B 30 BC 12 CD BCsin30 6 BD BCcos30 6 在Rt ACD中 6 2018 贵阳中考 如图 A B C是小正方形的顶点 且每个小正方形的边长为1 则tan BAC的值为 B 7 2018 齐齐哈尔中考 四边形ABCD中 BD是对角线 ABC 90 tan ABD AB 20 BC 10 AD
5、13 则线段CD 17或 考点四解直角三角形的应用 5年3考 命题角度 仰角 俯角问题例4 2017 东营中考 一数学兴趣小组来到某公园 准备测量一座塔的高度 如图 在A处测得塔顶的仰角为 在B处测得塔顶的仰角为 又测量出A B两点的距离为s米 则塔高为米 分析 在Rt BCD中 可以用CD表示出BD的长 从而得出AD的长 再在Rt ACD中 求出CD的长即可 自主解答 在Rt BCD中 8 2018 河口一模 某兴趣小组借助无人飞机航拍校园 如图 无人飞机从A处飞行至B处需8秒 在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75 B处的仰角为30 已知无人飞机的飞行速度为4米 秒 则这架无人飞机的
6、飞行高度为 米 结果保留根号 8 8 9 2018 聊城中考 随着我市农产品整体品牌形象 聊 胜一筹 的推出 现代农业得到了更快发展 某农场为扩大生产建设了一批新型钢管装配式大棚 如图1 线段AB BD分别表示大棚的墙高和跨度 AC表示保温板的长 已知墙高AB为2米 墙面与保温板所成的角 BAC 150 在点D处测得A点 C点的仰角分别为9 15 6 如图2 求保温板AC的长是多少米 精确到0 1米 参考数据 0 86 sin9 0 16 cos9 0 99 tan9 0 16 sin15 6 0 27 cos15 6 0 96 tan15 6 0 28 解 设AC x 在 ABD中 tan9
7、 BD 如图 作CE BD 垂足为点E 作AG CE 垂足为点G 在Rt AGC中 CAG 60 AG AC cos60 x 0 5x CG AC sin60 x ED BD BE BD AG 0 5x 在Rt CED中 tan CDE tan15 6 CE ED tan15 6 0 5x tan15 6 又 CE CG GE x 2 0 5x tan15 6 x 2 即 0 5x 0 28 0 86x 2 解得x 1 5 米 答 保温板AC的长约是1 5米 命题角度 坡度 坡角问题例5 2018 安顺中考 如图是某市一座人行天桥的示意图 天桥离地面的高BC是10米 坡面AC的倾斜角 CAB
8、45 在距A点10米处有一建筑物HQ 为了方便行人推车过天桥 市政府部门决定降低坡度 使新坡面DC的倾斜角 BDC 30 若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道 问该建筑物是否需要拆除 结果保留一位小数 参考数据 1 414 1 732 分析 在Rt ABC Rt DBC中 利用锐角三角函数分别计算AB DB 然后计算DH的长 根据DH与3的关系得结论 自主解答 由题意知 AH 10米 BC 10米 在Rt ABC中 CAB 45 AB BC 10米 在Rt DBC中 CDB 30 DB 10 米 DH AH DB AB 10 10 10 20 10 2 7 米 答 该建筑物需要拆
9、除 解决坡度 坡角问题时的注意点首先要认真读题 弄清题意 理解坡度 坡角的实际意义及坡度与坡角的关系 其次是从图中确定要解的直角三角形 充分使用坡度 坡角提供的相关数据 正确选择关系式 10 2018 枣庄中考 如图 某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31 AB的长为12米 则大厅两层之间的高度为 米 结果保留两个有效数字 参考数据 sin31 0 515 cos31 0 857 tan31 0 601 6 2 11 2018 邵阳中考 某商场为方便消费者购物 准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯 如图所示 已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m 坡角 ABD为30 改造后的斜坡式自动
10、扶梯的坡角 ACB为15 请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度 结果精确到0 1m 参考数据 sin15 0 26 cos15 0 97 tan15 0 27 解 在Rt ABD中 ABD 30 AB 10 AD ABsin ABD 10 sin30 5 在Rt ACD中 ACD 15 sin ACD AC 19 2 答 改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度约为19 2m 命题角度 方向角问题例6 2018 济宁中考 如图 在一笔直的海岸线l上有相距2km的A B两个观测站 B站在A站的正东方向上 从A站测得船C在北偏东60 的方向上 从B站测得船C在北偏东30 的方向上 则船C到海岸线l的距
11、离是km 分析 过点C作CH l 垂足为点H 然后解直角三角形即可求得答案 自主解答 如图 过点C作CH l 垂足为点H 由题意得 ACH 60 CBH 60 BCH 30 设CH x 在Rt ACH中 AH CH tan ACH x tan60 x 在Rt BCH中 BH CH tan BCH x tan30 x AH BH AB x x 2 解得x 即船C到海岸线l的距离是km 故答案为 解决方向角问题的方法方向角问题应结合实际问题抽象出示意图并构造三角形 还要分析三角形中的已知元素和未知元素 如果这些元素不在同一个三角形中或者在同一个斜三角形中 就需要添加辅助线 在解题的过程中 有时需要
12、设未知数 通过构造方程 组 来求解 这类题目主要考查学生解决实际问题的能力 12 2018 广饶模拟 在综合实践课上 小聪所在小组要测量一条河的宽度 如图 河岸EF MN 小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向 然后沿河岸走了30米 到达B处 测得河对岸电线杆D位于北偏东30 方向 此时 其他同学测得CD 10米 请根据这些数据求出河的宽度为 米 结果保留根号 30 10 13 2018 青岛中考 某区域平面示意图如图 点O在河的一侧 AC和BC表示两条互相垂直的公路 甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45 乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73 7 测得AC 840m BC 500m 请求出点O到BC的距离 参考数据 sin73 7 cos73 7 tan73 7 解 如图 作OM BC于点M ON AC于点N 则四边形ONCM为矩形 ON MC OM NC 设OM x 则NC x AN 840 x 在Rt ANO中 OAN 45 ON AN 840 x 则MC ON 840 x 在Rt BOM中 BM x 由题意得840 x x 500 解得x 480 答 点O到BC的距离为480m
