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1、黑龙江省牡丹江市第一高级中学2020届高三数学上学期开学考试检测试题 理(含解析)一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题意的)1.设集合,则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】将等价转化为范围问题,再利用集合关系判断充分不必要条件。【详解】,则“”是“”的充分不必要条件故选A【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断,根据集合关系判断是解决问题的关键,属于基础题。2.下列函数中既是奇函数又在区间上单调递减的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解
2、析】是奇函数,但是,1,1上单调增函数。不是奇函数,对于,因为,所以是奇函数,在1,1上单调减函数,是偶函数,1,1上单调递增。故选:C.3.已知是第四象限角,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据的正弦值和角所在的象限,求得的值,根据两角差的正切公式求得所求表达式的值.【详解】因为,且为第四象限角,则,故选D.所以.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式,考查两角差的正切公式,属于基础题.4.已知,则的大小关系是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题得:,而,所以而,又,所以c最小,又,又,所以,故选C点睛:本题较难,主要是对对数和指数的运算的
3、考察,在比较大小时,先判定各数的符号,然后可以借助中间值0或1进行比较,也可以作差或作商进行比较5.若正数,满足,则的值为( )A. B. C. D. 1【答案】D【解析】【分析】引入新元x,将a用x表示,b用x表示,a+b用x表示带入求出结果【详解】设,则【点睛】本题主要考查对数与对数函数。不能直接将a表示成b的关系式,因此考虑引入新元x.6.已知,且,则 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先通过已知求出,再利用平方关系求的值.【详解】因为,所以.因为,且,所以,所以.故选:A【点睛】本题主要考查二倍角公式和同角的平方关系,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理
4、能力.7.已知定义域为的奇函数,则的值为( )A. 0B. 1C. 2D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】奇函数定义域必关于原点对称,求出a的值。定义域有原点的奇函数必过原点【详解】奇函数定义域必关于原点对称,即,即,故选A【点睛】本题考查奇函数的相关性质,属于基础题。8.若是方程的解,是方程的解,则等于( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】,再利用函数与函数互为反函数,推出函数图像交点的横坐标与纵坐标的关系【详解】由题意知是方程的解,是方程的解,即是函数与函数交点的横坐标,是函数与函数交点的横坐标。因为函数与函数互为反函数,图像关于对称。所以等于函数与函数交点的纵坐标,
5、即【点睛】方程的解就是对应函数图像的交点,还是函数的零点利用函数与函数互为反函数,推出函数图像交点的横坐标与纵坐标的关系,即可求解本题。9.已知,且,则下列结论正确的是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】用二倍角公式、两角差的正弦公式和诱导公式化简,由此得出正确结论.【详解】有,得,由于,所以,故选A.【点睛】本小题主要考查三角恒等变换,考查二倍角公式、两角差的正弦公式和诱导公式,属于中档题.10.已知,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】利用两角和的正弦函数化简求得,再利用诱导公式,即可求解,得到答案.【详解】因为,所以,整理得,即,所以,故选B.【点
6、睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题,其中解答中熟记三角恒等变换的公式,合理、准确运算是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.11.已知函数,且,则实数的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】当 时, 当时, 是定义在上的减函数,又 也是定义在上的减函数,故设 ,则由题 即即,又 综上,故选B点睛 :本题考查的知识点是分段函数的解析式求法,函数的零点,分类讨论思想,难度极大,解题的关键是根据题意构造新函数 12.已知函数,,若对任意的,存在实数满足,使得,则的最大值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】当时,作函数与的图象如图,Failed to
7、 download image : http:/qbm-images.oss-cn- to download image : http:/qbm-images.oss-cn- ,对,存在实数满足,使得成立,正确;当时,作函数与的图象如图,不存在实数满足,使得成立,的最大值为,故选B.【方法点睛】本题主要考查函数的图象与性质、数形结合思想的应用,属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法,是中学数学四种重要的数学思想之一,尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效,大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出
8、函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换,充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简,并迎刃而解.二.填空题(本大题共4小题,每题5分,满分20分)13.已知,且是第一象限角,则_.【答案】或【解析】【分析】先解出,的值再带入【详解】【点睛】本题考查半角的正切公式。14.已知函数若关于的方程有两个不同的实数根,则实数的取值范围是 【答案】【解析】试题分析:作函数及图像,由图可知要使关于方程有两个不同的实数根,须满足考点:函数图像【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时,先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容,熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零
9、点时,要注意用好其与图象的关系,结合图象研究.15.若,则_【答案】【解析】【详解】由题意可得:,即:,解方程可得:.16.在下列命题中,正确命题的序号为 (写出所有正确命题的序号)函数的最小值为;已知定义在上周期为4的函数满足,则一定为偶函数;定义在上的函数既是奇函数又是以2为周期的周期函数,则;已知函数,则是有极值的必要不充分条件;已知函数,若,则【答案】【解析】试题分析:对于,函数中,当时,在在为单调递增函数,不存在最小值,故错误;对于,又定义在上周期为的函数,为偶函数,故正确;对于,因为定义在上的函数是奇函数又是以为周期,故正确;对于要使有极值,则方程一定有两个不相等的根,即当时,充分
10、性成立,反之不然,是有极值的充分不必要条件,故命题错误;对于命题为上的增函数,又为上的奇函数,若即时,故正确,综上所述,正确的命题序号为,故答案为考点:1、函数的单调性和周期性;2、函数的奇偶性和对称性【思路点睛】本题目综合考查函数的函数的单调性、周期性及函数的奇偶性和对称性属于难题对于,主要是利用函数的单调性得出的值趋于无穷小,从而得出错误 ;对于,利用对称性和周期性推出是偶函数,所以正确;对于,根据函数的奇偶性、周期性,结合解析式可得正确;对于,根据导函数,充要条件判断其错误;对于,根据函数奇偶性、单调性可证明其正确性三.解答题:本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明.证明过程或演算
11、步骤17.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的方程为,过点的直线的参数方程为(为参数).()求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;()若直线与曲线交于、两点,求的值,并求定点到,两点的距离之积.【答案】()直线的普通方程,曲线的直角坐标方程为;().【解析】【分析】()由可得曲线的直角坐标方程为;用消参法消去参数,得直线的普通方程.()将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中,由直线的参数方程中的参数几何意义求解.【详解】()由(为参数),消去参数,得直线的普通方程.由,得曲线的直角坐标方程为.()将直线的参数方程为(为参数),代入,得.则,.,.所以,的
12、值为,定点到,两点的距离之积为.【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程,参数方程转化为普通方程,直线的参数方程.18.已知函数,关于的不等式的解集为。(1)求实数的值;(2)已知,且,求的最小值【答案】(1)2;(2)【解析】【分析】(1)直接对不等式化简得,然后对比它的解集,即可求出m.(2)直接利用柯西不等式化简。【详解】(1),由题意,故。(2)由(1)可得,由柯西不等式可得,所以.当且仅当,即,时等号成立, 的最小值为。【点睛】本题考查解绝对值不等式和柯西不等式,属于中档题。19.已知锐角和钝角的终边分别与单位圆交于、两点,其中点坐标.(1)求的值;(2)若,求点坐标.【答案】(1);
13、(2).【解析】【分析】(1)先求出,再求的值.(2)由题得,解方程组即得点B的坐标.【详解】由题得,所以=-7.由题设B(x,y),因为是钝角,所以,所以点B的坐标为.【点睛】本题主要考查三角函数的坐标定义,考查三角恒等变换求值,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.20.已知,其中.为锐角,且.(1)求的值;(2)若,求及的值【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)直接利用两点间的距离公式化简,即可得出答案。(2)根据,分别求出,再利用公式。【详解】(1)由,得,得,得(2),当时,当时,为锐角,.【点睛】本题主要考查两角差的余弦公式。属于简单题。21.设函数偶函数. (1)求不等式的解集;(2)若不等式对任意实数成立,求实数的取值范围;(3)设函数,若在上有零点,求实数的取值范围.【答案】(1);(2);(3)【解析】【分析】(1)由f(x)f(x),可求得k2由,即,