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1、河南省鲁山县第一高级中学2020届高三数学上学期开学考试试题 文（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1. 已知集合，则A. B. C. D. 2. 复数z满足，则A. 2iB. 2C. iD. 13. 已知平面内一条直线l及平面，则“”是“”的A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4. 如图是某光纤电缆的截面图，其构成为七个大小相同的小圆外切，且外侧六个小圆与大圆内切，现从大圆内任取一点，恰好在小圆内的概率为A. B. C. D. 5. 已知一组样本数据点，用最小二乘法得到其线性回归方程为，若数据，的平均数为1，则等于A. 10B. 12C.
2、13D. 146. 等比数列中，若，则mn不可能为A. 5B. 6C. 8D. 97. 已知二元一次不等式组表示的平面区域为D，命题p：点在区域D内；命题q：点在区域D内则下列命题中，真命题是A. B. C. D. 8. 已知中，BC的中点为M，则等于A. B. 11C. 12D. 159. 已知圆C：与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是A. B. C. D. 10. 已知正实数a，b满足，则A. B. C. D. 11. 自然界中具有两种稳定状态的组件普遍存在，如开关的开和关、电路的通和断等，非常适合表示计算机中的数，所以现在使用的计算机设计为二进制二进制以2为基数，只用0和1两个数表
3、示数，逢2进1，二进制数与十进制数遵循一样的运算规则，它们可以相互转化，如我国数学史上，清代汪莱的参两算经是较早系统论述非十进制数的文献，总结出了八进制乘法口决：，则八进制下等于A. B. C. D. 12. 若函数为自然对数的底数有两个极值点，则实数a的取值范围是A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题）13. 已知，则等于_14. 已知定义在R上的偶函数满足，则等于_15. 已知一个圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为_16. 已知数列的前n项和为，若对于任意m，恒成立，则实数M的最小值为_三、解答题（本大题共7小题）17. 已知锐角的内角A，B，C的所对
4、边分别为a，b，c，其中，若，求角A；求面积的最大值18. 如图，已知直三棱柱中，E是BC的中点，F是上一点，且证明：平面；求三棱锥的体积19. 某“双一流”大学专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一等奖学金奖金额3000元、专业二等奖学金奖金额1500元及专业三等奖学金奖金额600元，且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次图是统计了该校2020年500名学生周课外平均学习时间频率分布直方图，图是这500名学生在2020年周课外平均学习时间段获得专业奖学金的频率柱状图求这500名学生中获得专业三等奖学金的人数；若周课外平均学习时间超过35小时称为“努力型”学生，否则称为“
5、非努力型”学生，列联表并判断是否有的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型”学生有关？若以频率作为概率，从该校任选一名学生，记该学生2020年获得的专业奖学金额为随机变量X，求随机变量X的分布列和期望20. 在平面直角坐标系xOy中，已知，动点P满足求动点P的轨迹E的方程；过点F的直线与E交于A，B两点，记直线QA，QB的斜率分别为，求证：为定值21. 已知函数e为自然对数的底数，若直线是函数图象的一条切线，求a的值；对于任意，恒成立，求a的取值范围22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，为参数，在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换得到曲线，以坐标原点O为极点，x轴的
6、正半轴为极轴建立极坐标系为极径，为极角求曲线C的直角坐标方程和曲线的极坐标方程；若射线OA：与曲线交于点A，射线与曲线交于点B，求的值23. 已知函数，当时，求不等式的解集；若关于x的不等式的解集包含，求a的取值集合答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合或，则，所以故选：B化简集合M、N，根据补集和交集的定义计算即可本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题2.【答案】D【解析】解：依题意，因为复数z满足，所以，所以，故选：D根据已知条件，先求出复数z的代数形式，代入模长公式即可本题考查了复数的代数形式的运算，复数的模，属于基础题3.【答案】B【解析】解：由面面垂直的定义知，当”时，“”成立，
7、当时，不一定成立，即“”是“”的充分不必要条件，故选：B根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面垂直的判定定理和性质是解决本题的关键4.【答案】A【解析】解：设小圆半径为r，则大圆半径为3r，则所有小圆的面积和为，大圆面积为所求概率故选：A由图形设小圆半径为r，则大圆半径为3r，再由测度比是面积比得答案本题考查几何概型概率的求法，是基础的计算题5.【答案】B【解析】解：设样本数据点，的样本中心点为，则，代入线性回归方程中，得，则故选：B设这组样本数据中心点为，代入线性回归方程中求得，再求的值本题考查了线性回归
8、方程的应用问题，是基础题6.【答案】B【解析】解：依题意，数列为等比数列，所以，当，时，故A正确；当，时，故C正确；当时，故D正确；故选：B数列为等比数列，所以，分情况讨论即可得到mn的值本题考查了等比数列的性质，属于基础题7.【答案】C【解析】解：把点代入不等式不成立，故命题p为假命题；把点代入不等式组成立，故命题q为真命题、为假命题；为真命题故选：C把两点坐标分别代入不等式组判断p与q的真假，再由复合命题的真假判断得答案本题考查简单的线性规划，考查复合命题的真假判断，是基础题8.【答案】B【解析】解：由题意，故选：B，然后运用数量积公式直接求解本题考查平面向量的数量积运算，考查运算求解能力
9、，属于基础题9.【答案】C【解析】解：双曲线的渐近线方程为，圆C：化为标准方程是：，则圆心到直线的距离为；即，解得，即双曲线的离心率是故选：C由双曲线的标准方程写出渐近线方程，利用圆心到切线的距离，列方程求出离心率的值本题考查了圆与双曲线的标准方程和应用问题，是基础题10.【答案】B【解析】解：在同一坐标系中分别作出函数，及的图象如图：由图可知，故选：B由题意画出函数，及的图象，数形结合得答案本题考查对数值的大小比较，考查数形结合的解题思想方法，是中档题11.【答案】A【解析】解：，故，即八进制下等于故选：A由二进制转化为十进制的方法，我们只要依次累加各位数字上的数该数位的权重，即可得到十进制
10、数，再利用“除k取余法”是将十进制数除以8，然后将商继续除以8，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案本题考查的知识点是算法的概念，由二进制转化为八进制的方法，进制转换为十进制的方法是依次累加各位数字上的数该数位的权重，十进制与其它进制之间的转化，熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键12.【答案】A【解析】解：，由函数有两个极值点，可得有两根，即有两个交点令，令，则，在区间，区间，所以在区间单减，在区间递增，的大致图象如下：所以与有两个交点的取值范围，即函数有两个极值点a的取值范围为故选：A函数有两个极值点就是导函数等于零有两根，转化为两个函数有两个交点问题分离出，求
11、另一个函数的大致图象有两个交点时a的取值范围考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题13.【答案】【解析】解：，故答案为：由已知利用二倍角的余弦函数公式即可求值得解本题主要考查了二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题14.【答案】【解析】解：是R上的偶函数，且，；，的周期为4，又，则，故答案为：根据和为偶函数即可得出，进而得出，即得出的周期为4，而根据即可求出，这样即可求出考查偶函数、周期函数的定义，以及已知函数求值的方法15.【答案】【解析】解：如图所示，由题意知圆锥的底面半径为，高为；则圆锥的母线长为，所以该圆锥的侧面积为故答案为：由题意知圆锥的
12、底面半径和高，求出母线长，再计算圆锥的侧面积本题考查了圆锥的结构特征与侧面积计算问题，是基础题16.【答案】【解析】解：，可得时，解得，时，又，相减可得，即，可得，则，当n为奇数时，递减，当n为偶数时，递增，可得的最大值为，最小值为，对于任意m，恒成立，可得，即，则M的最小值为故答案为：由数列的递推式和等比数列的定义和通项公式，可得的通项公式和求和公式，讨论n为奇数或偶数，可得的最值，则M不小于的最值之差的绝对值，进而得到所求值本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义和通项公式的运用，以及不等式恒成立问题转化为求最值的方法，考查运算能力，属于中档题17.【答案】解：，可得，可得，可得，又
13、，在中，由，可得，当且仅当，即三角形为等边三角形时，等号成立，面积的最大值为【解析】由已知可求，结合范围，可求C的值，利用正弦定理可求，利用大边对大角，特殊角的三角函数值可求A的值；利用余弦定理，基本不等式可求ab的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18.【答案】证明：连接AE，AF，在中，由题意可知为等腰三角形，且，由面积相等得，求得又由三棱柱为直三棱柱，平面ABC，则，在直角三角形中，则又，为直角，即E.，平面，则，而，故AF平面；解：过E作，连接，交AC于D，过F作，交于点G，平面ABC，又，平面，故FG平面C.，【解析】连接AE，AF，在中，由题意可知为等腰三角形，且，求得在直角三角形中，求解由，得，由线面垂直的判定可得平面，则，进一步得到平面；过E作，连接，交AC于D，过F作，交于点G，由，得平面，故FG平面C.然后利用等积法求三棱锥的体积本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题19.【答案】解：获得三等奖学金的概率为：故这500名学生获得专业三等奖学金
