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1、2017-2018学年高中数学第一章计数原理能力深化提升新人教A版选修2-3第一章 计数原理能力深化提升类型一两个计数原理【典例1】(1)从集合1,2,3,10中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列共有()A.3个B.4个C.6个D.8个(2)如图所示,要用4种颜色给四川、青海、西藏、云南四省(区)的地图染色,每一省(区)一种颜色,只要求相邻的省(区)不同色,则不同染色的方法有多少种?【解析】(1)选D.以1为首项的等比数列为1,2,4;1,3,9;以2为首项的等比数列为2,4,8;以4为首项的等比数列为4,6,9,共4个.把这四个数列的顺序颠倒,又得到4个数列,故所求数
2、列共有8个.(2)给四川染色有4种方法,给青海染色有3种方法,给西藏染色有2种方法,给云南染色有2种方法,根据分步乘法计数原理,不同的染色方法共有4322=48(种).【方法总结】运用两个计数原理解题时的三个关注点(1)运用分类加法计数原理时,按事件的性质进行分类,每类办法中的任意一种方法都可以独立完成这件事,分类必须满足两个条件:类与类必须互斥(做到不重);总类必须完备(保证不漏).(2)分步乘法计数原理在运用时,要确定好次序,并且每一步都是独立,互不干扰的;还要注意元素是否可以重复选取.分步乘法计数原理的特征是按事件发生的连续过程分步,其中,每一个步骤中的任意一种方法只能完成这件事的一部分
3、,几个步骤依次完成,这件事才算完成,分步也必须满足两个条件:步与步相互独立,互不干扰;步与步确保连续.(3)对于比较复杂的问题,可同时运用这两个计数原理,借助列表、画图分析的方法来完成.【巩固训练】某单位职工义务献血,在体检合格的人中,O型血的共有28人,A型血的共有7人,B型血的共有9人,AB型血的共有3人.(1)从中任选1人去献血,有多少种不同的选法?(2)从四种血型的人中各选1人去献血,有多少种不同的选法?【解析】从O型血的人中选1人有28种不同的选法,从A型血的人中选1人有7种不同的选法,从B型血的人中选1人有9种不同的选法,从AB型血的人中选1人有3种不同的选法.(1)任选1人去献血
4、,即无论哪种血型的哪一个人,“任选1人去献血”这件事情已完成,所以用分类加法计数原理,有N=28+7+9+3=47种不同的选法.(2)要从四种血型的人中各选1人,即要在每种血型的人中依次选出1人后,“各选1人去献血”这件事情才完成,所以用分步乘法计数原理,有N=28793=5292种不同的选法.【补偿训练】已知集合A=a1,a2,a3,a4,集合B=b1,b2,其中ai,bi(i=1,2,3,4,j=1,2)均为实数.(1)从集合A到集合B能构成多少个不同的映射?(2)能构成多少个以集合A为定义域,集合B为值域的不同函数?【解析】(1)因为集合A中的元素ai(i=1,2,3,4)与集合B中元素
5、的对应方法都有2种,由分步乘法计数原理,构成AB的映射有N=2222=24=16个.(2)在(1)的映射中,a1,a2,a3,a4均对应同一元素b1或b2的情形构不成以集合A为定义域,以集合B为值域的函数,这样的映射有2个,所以构成以集合A为定义域,以集合B为值域的函数有N=16-2=14个.类型二排列组合问题【典例2】(1)(2015上海高考)在报名的3名男教师和6名女教师中,选取5人参加义务献血,要求男、女教师都有,则不同的选取方式的种数为_.(结果用数值表示)(2)从7名男生和5名女生中,选出5人,分别求符合下列条件的选法数.A,B必须被选出;至少有2名女生被选出;让选出的5人分别担任体
6、育委员、文娱委员等5种不同职务,但体育委员由男生担任,文娱委员由女生担任.【解析】(1)由题意可分男1,女4,男2,女3和男3,女2三种情况,可以共有+=45+60+15=120.答案:120(2)除A,B选出外,从其他10人中再选3人,共有选法数为=120(种);按女生的选取情况分类:选2名女生3名男生;选3名女生2名男生;选4名女生1名男生;选5名女生.所有选法数为+=596(种);选出1名男生担任体育委员,再选出1名女生担任文娱委员,剩下的在10人中任选3人担任其他3个职务.由分步乘法计数原理可得到所有选法数为=25200(种).【方法总结】解排列、组合应用题的解题策略(1)特殊元素优先
7、安排的策略.(2)合理分类和准确分步的策略.(3)排列、组合混合问题先选后排的策略.(4)正难则反、等价转化的策略.(5)相邻问题捆绑处理的策略.(6)不相邻问题插空处理的策略.(7)定序问题除法处理的策略.(8)分排问题直排处理的策略.(9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略.(10)构造模型的策略.简单记成:合理分类,准确分步;特殊优先,一般在后;先取后排,间接排除;集团捆绑,间隔插空;抽象问题,构造模型.【巩固训练】在高三一班元旦晚会上,有6个演唱节目,4个舞蹈节目.(1)当4个舞蹈节目要排在一起时,有多少种不同的节目安排顺序?(2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时,有
8、多少种不同的节目安排顺序?【解析】(1)第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来,看成1个节目,与6个演唱节目一起排,有=5040种方法;第二步再松绑,给4个节目排序,有=24种方法.根据分步乘法计数原理,一共有504024=120960种.(2)第一步将6个演唱节目排成一列(如图中的“”),一共有=720种方法.第二步,再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即图中“”的位置),这样相当于7个“”选4个来排,一共有=7654=840种.根据分步乘法计数原理,一共有720840=604800种.类型三二项式定理及其应用【典例3】(2017杭州高二检测)(1)若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a
9、3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为()A.-1B.0C.1D.2(2)若(3x2-2x+1)5=a10x10+a9x9+a8x8+a1x+a0(xC),求(a0+a2+a4+a6+a8+a10)2- (a1+a3+a5+a7+a9)2;-a2+a4-a6+a8-a10.【解析】(1)选C.在(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中,令x=1,得(2+)4=a0+a1+a2+a3+a4,令x=-1,得(-2+)4=a0-a1+a2-a3+a4.两式相乘,得(2+)4(-2+)4=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4).所
10、以(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(-4+3)4=1.(2)令x=1,得a0+a1+a10=25;令x=-1,得(a0+a2+a4+a6+a8+a10)-(a1+a3+a5+a7+a9)=65,两式相乘,得(a0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2=2565=125.令x=i,得-a10+a9i+a8-a7i-a6+a5i+a4-a3i-a2+a1i+a0=(-2-2i)5=-25(1+i)5=-25(1+i)22(1+i)=128+128i.整理得,(-a10+a8-a6+a4-a2+a0)+(a9-a7+a5-a3+a1)i=128+128i,
11、故-a10+a8-a6+a4-a2+a0=128.因为a0=1,所以-a10+a8-a6+a4-a2=127.【方法总结】对于二项式定理的考查常有两类问题(1)第一类,直接运用通项公式求特定项或解决与系数有关的问题.(2)第二类,需运用转化思想化归为用二项式定理来处理的问题.【巩固训练】(2017临沂高二检测)若展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列.(1)求n的值及展开式中二项式系数最大的项.(2)此展开式中是否有常数项,为什么?【解析】(1)由展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列,得2=+,解之得n=7,由于n=7为奇数,所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项,它们分别是T
12、4=35,T5=35.(2)由Tr+1=(0r7),令=0得r=(舍去),所以无常数项.【补偿训练】在(-)8的展开式中:(1)求系数绝对值最大的项.(2)求二项式系数最大的项.(3)求系数最大的项和系数最小的项.【解析】Tr+1=()8-r(-)r=(-1)r2r.(1)设第r+1项系数的绝对值最大.则所以即5r6,故系数绝对值最大的项是第6项和第7项.(2)二项式系数最大的项为中间项,即为第5项.所以T5=24=1120x-6.(3)由(1)知,展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大,而第6项的系数为负,第7项的系数为正.则系数最大的项为:T7=(-2)6x-11=1792x-11.系数最小的项为T6=-25=-1792.- 5 - / 5- 5 - / 5
