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1、2017-2018学年高中数学第一章导数及其应用能力深化提升新人教A版选修2-2第一章 导数及其应用能力深化提升类型一 导数的几何意义【典例1】(1)已知直线y=kx是曲线y=ex的切线，则实数k的值为( )A. B.- C.-eD.e(2)曲线f(x)=x3+x-2在P0处的切线平行于直线y=4x-1，则点P0的坐标为( )A.(1，0)B.(2，8)C.(1，0)和(-1，-4)D.(2，8)和(-1，-4)【解析】(1)选D.因为y=ex，设切点为(x0,y0),所以所以x0=1,所以k=e.(2)选C.设切点P0(a,b),因为f(x)=3x2+1,所以k=f(a)=3a2+1=4,所
2、以a=1,把a=-1代入到f(x)=x3+x-2得b=-4；把a=1代入到f(x)=x3+x-2得b=0，所以P0的坐标为(1，0)和(-1，-4).【方法总结】切点的两种情形利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种：(1)求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得.(2)求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为yy1f(x1)(xx1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0y1f(x1)(x0x1),又y1f(x1)；由求出x1，y1的值,便求出了过点P(x0，y0)的
3、切线方程【巩固训练】已知函数f(x)=x3-3x2+a，若f(x+1)是奇函数，求曲线y=f(x)在点(0,a)处的切线方程.【解析】根据函数f(x+1)是奇函数，所以f(x)的图象的对称中心是(1,0)，故有f(1)=0，所以a=2，即f(x)=x3-3x2+2，所以有f(0)=2，f(x)=3x2-6x,f(0)=0，故所求的切线为过(0,2)点且斜率是0的直线，所以方程为y=2.【补偿训练】已知曲线y=x2-1与y=1+x3在x=x0处的切线互相垂直，求x0的值.【解析】y=2x, 又因为k1k2=-1，所以所以类型二 导数与函数的单调性【典例2】(2016四川高考)设函数f(x)=ax
4、2-a-ln x，其中aR.(1)讨论f(x)的单调性.(2)确定a的所有可能取值，使得f(x) -e1-x在区间(1，+)内恒成立(e=2.718为自然对数的底数).【解题指南】(1)对fx求导，对a进行讨论，判断函数的单调性.(2)利用导数判断函数的单调性，判断最值，证明结论.【解析】(1)由题意，当a0时，2ax2-10，f(x)0，f(x)在(0,+)上单调递减.当a0时，当x时，f(x)0；当x时，f(x)0.故f(x)在上单调递减，在上单调递增.(2)原不等式等价于f(x)- +e1-x0在x(1,+)上恒成立.一方面，令g(x)=f(x)- +e1-x=ax2-ln x-+e1-
5、x-a，只需g(x)在x(1,+)上恒大于0即可. 又因为g(1)=0，故g(x)在x=1处必大于等于0.令F(x)=g(x)= g(1)0，可得a.另一方面， 当a时，因为x(1,+)，故x3+x-20，又e1-x0，故F(x)在a时恒大于0.所以当a时，F(x)在x(1,+)上单调递增.所以F(x)F(1)=2a-10，a,故g(x)也在x(1,+)上单调递增.所以g(x)g(1)=0，即g(x)在x(1,+)上恒大于0.综上，a.【方法总结】利用导数研究函数单调性的四个注意点(1)利用导数讨论函数的单调性，要先求函数的定义域，只能在定义域内通过讨论导数的符号来确定函数的单调区间.(2)一
6、般利用使导数等于零的点来对函数划分单调区间.两个单调性相同的区间，不能用并集符号连接.(3)当给定问题中含有字母参数时，需要分类讨论确定单调区间.(4)由函数单调性求参数取值范围.f(x)为增函数f(x)0且f(x)=0不恒成立.f(x)为减函数f(x)0且f(x)=0不恒成立.【巩固训练】(2017东莞高二检测)设f(x)= +2ax.若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围.【解析】由f(x)=-x2+x+2a=当x时，f(x)的最大值为所以，当a时，f(x)在上存在单调递增区间.【补偿训练】已知函数f(x)=ax3+bx2的图象经过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x+9
7、y=0垂直.(1)求实数a,b的值.(2)若函数f(x)在区间m,m+1上单调递增，求m的取值范围.【解析】(1)因为函数f(x)=ax3+bx2的图象经过点M(1，4)，所以a+b=4.f(x)=3ax2+2bx,则f(1)=3a+2b.由条件f(1)=-1，即3a+2b=9.由解得a=1,b=3.(2)f(x)=x3+3x2,则f(x)=3x2+6x.令f(x)=3x2+6x0，得x0或x-2.因为函数f(x)在区间m,m+1上单调递增，所以m,m+1(-,-20,+),所以m0或m+1-2,所以m0或m-3.类型三 导数与函数的极值与最值【典例3】已知函数f(x)ax3bxc在点x2处取
8、得极值c16.(1)求a，b的值.(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在3,3上的最小值【解析】(1)因为f(x)ax3bxc，故f(x)3ax2b.由于f(x)在点x2处取得极值c16， (2)由(1)知f(x)x312xc，f(x)3x2123(x2)(x2)令f(x)0，得x12，x22.当x(，2)时，f(x)0，故f(x)在(，2)上为增函数；当x(2,2)时，f(x)0，故f(x)在(2，)上为增函数由此可知f(x)在x2处取得极大值f(2)16c，f(x)在x2处取得极小值f(2)c16.由题设条件知16c28，解得c12.此时f(3)9c21，f(2)16c4，因此f(x)
9、在3,3上的最小值为f(2)4.【延伸探究】本例条件不变，若f(x)有极小值2，求f(x)在-3,3上的最大值.【解析】由本例(2)解析知，f(x)在x=2处取得极小值.所以f(2)=c-16=2,解得c=18，此时f(3)=-9+c=9,f(-2)=c+16=34，因此最大值为34.【方法总结】求函数极值的步骤第一步：求导数f(x)；第二步：求方程f(x)=0的所有实根；第三步：列表观察在每个根x0附近，从左到右，导数f(x)的符号如何变化，若f(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；若f(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值；若f(x)的符号不变，则f(x0)不是极值，x0不是极值
10、点.【补偿训练】已知函数f(x)=x5+ax3+bx+1，仅当x=-1,x=1时取得极值，且极大值比极小值大4.(1)求a，b的值.(2)求f(x)的极大值和极小值.【解析】(1)f(x)=x5+ax3+bx+1的定义域为R.所以f(x)=5x4+3ax2+b,因为当x=1时有极值，所以5+3a+b=0,所以b=-3a-5.代入f(x)得f(x)=5x4+3ax2-3a-5=5(x4-1)+3a(x2-1)=(x2-1)5(x2+1)+3a=(x+1)(x-1)5x2+(3a+5).因为f(x)仅当x=1时有极值，所以方程5x2+(3a+5)=0在实数范围内无解，所以=0-20(3a+5)0，
11、所以3a+50,所以5x2+(3a+5)0对任意x恒成立，考查f(x)、f(x)随x的变化情况：由此可知，当x=-1时取得极大值；当x=1时取得极小值.所以f(-1)-f(1)=4,即(-1)5+a(-1)3+b(-1)+1-(15+a13+b1+1)=4.整理得a+b=-3.由解得(2)因为a=-1,b=-2,所以f(x)=x5-x3-2x+1.所以f(x)的极大值f(x)极大=f(-1)=3;f(x)的极小值f(x)极小=f(1)=-1.类型四 定积分及其应用【典例4】(1)由曲线yex，yx，x0，x2围成的平面图形的面积S可以表示为( ) (2)一物体以v(t)=(t2-3t+8)(m
12、/s)的速度运动，则其在前30秒内的平均速度为_m/s.【解析】(1)选C.如图所示，阴影部分的面积为S，则SS1S2，其中S1 (即由曲线yex，x0，x2及x轴围成的平面图形的面积)，S2 (即由直线yx，x0，x2及x轴围成的平面图形的面积)所以S (2)依题意可得，其在前30秒内行驶的路程长为7 890,所以其在前30秒内的平均速度答案:263【方法总结】曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线yf(x)，x轴与直线xa，xb(ab)所围成的，如图所示计算时可分为四步：分割；近似代替；求和；取极限【巩固训练】(2017江门高二检测)如图所示，求由函数f(x)=sin x与函数g(x)=co
13、s x在区间上的图象所围成的封闭图形的面积.【解题指南】求出图象的交点坐标，根据定积分的几何意义，所求面积为再用定积分计算公式加以运算.【解析】由可得交点坐标为所以由两曲线所围成的封闭图形的面积为 【补偿训练】A,B两站相距7.2 km，一辆列车从A站开往B站，列车开出t1 s后到达途中C点，这一段速度1.2t m/s,到C点速度达24 m/s，从C点到B站前的D点以匀速行驶，从D点开始刹车，经t2 s后，速度为(24-1.2t) m/s.在B点恰好停车，试求：(1)C，D间的距离.(2)列车从A站到B站所需的时间.【解析】(1)因为A站开往C站的速度v=1.2t,所以由1.2t=24，解得t=20.即AE=20 s，从D点开始刹车，经t2 s后，速度为(24-1.2t) m/s，在B点恰好停车，则由24-1.2t=0，解得t=20 s，即FB=20，根据积分的几何意义可知AC的路程为BD的路程为所以CD的距离为7 200-240-240=6 720(m)，(2)因为C点速度达24 m/s,所以CD对应的时间所以列车从A站到B站所需的时间为20+280+20=320(s).- 9 - / 9- 9 - / 9
