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1、3 1 2复数的几何意义 本节重点 复数的几何意义 本节难点 复数几何意义的应用 这种对应关系架起了联系复数与解析几何之间的桥梁 使得复数问题可以用几何方法解决 而几何问题也可以用复数方法解决 即数形结合法 增加了解决复数问题的途径 1 复数z a bi a b R 的对应点的坐标为 a b 而不是 a bi 1 任何一个复数z a bi a b R 都可以由一个有序实数对 a b 唯一确定 由于有序实数对 a b 与平面直角坐标系中的点一一对应 因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立关系 建立了平面直角坐标系来表示复数的平面称作 叫做实轴 叫做虚轴 实轴上的点都表示 除原点外 虚轴上
2、的点都表示 一一对应 复平面 x轴 y轴 实数 纯虚数 例1 实数m取怎样的值时 复数z m2 3m 2 m2 2m 8 i在复平面上的对应点在第四象限内 分析 复数z a bi a b R 与复平面的点Z a b 建立了一一对应关系 因此只要求a b所在象限也就知道了 点评 复数实部 虚部的符号与其对应点所在象限密切相关 实数 纯虚数的对应点分别在实轴和虚轴上 若实部为正且虚部为正 则复数对应点在第一象限 若实部为负且虚部为正 则复数对应点在第二象限 若实部为负且虚部为负 则复数对应点在第三象限 若实部为正且虚部为负 则复数对应点在第四象限 此外 若复数的对应点在某些曲线上 还可写出代数形式
3、的一般表达式 如 对应点在直线x 1上 则z 1 bi b R 对应点在直线y x上 则z a ai a R 这在利用复数的代数形式解题中能起到简化作用 实数m分别取什么数值时 复数z m2 5m 6 m2 2m 15 i是 1 实数 2 虚数 3 纯虚数 4 对应点在x轴上方 5 对应点在直线x y 9 0上 例2 在复平面内画出下列各复数对应的向量 并求出各复数的模 求复数z 1 cos isin 2 的模 例3 设全集U C A z z 1 1 z z C B z z 1 z C 若z A UB 求复数z在复平面内对应的点的轨迹 分析 求复数z在复平面内对应的点的轨迹 由复数模的几何意义
4、可知 只需求出 z 所满足的条件即可 而这由z A UB 及集合的运算即可得出 点评 对于复数的模 可以从以下两个方面进行理解 一是任何复数的模都表示一个非负的实数 二是复数的模表示该复数在复平面内对应的点到原点的距离 所以复数的模是实数的绝对值概念由一维空间向二维空间的一种推广 求适合下列条件复数z在复平面内表示的图形 1 2 z 0 且x2 y2 9 解析 1 如图所示 是以原点O为圆心 半径分别为2个和3个单位长度的两个圆所夹的圆环 不包括大圆的圆周 包括小圆的圆周 2 如图所示 是以原点O为圆心 半径为3个单位长度的扇形OAB的内部 不包括和半径OA OB 一 选择题1 i i2在复平
5、面内表示的点在 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 答案 B 解析 i2 1 i i2 1 i 在复平面内对应点坐标为 1 1 所以该点在第二象限内 故应选B 2 下面给出4个不等式 其中正确的是 A 3i 2iB 2 3i 1 4i C 2 i 2i4D i2 i 答案 C A 2 iB 2 iC 1 2iD 1 2i 答案 B 二 填空题4 复数3 5i 1 i和 2 ai在复平面上对应的点在同一条直线上 则实数a的值为 答案 5 5 设A B为锐角三角形的两个内角 则复数z cotB tanA i tanB cotA 对应点位于复平面的第 象限 答案 二 三 解答题6 实数x分别取什么值时 复数z x2 x 6 x2 2x 15 i对应的点Z在 1 第三象限 2 第四象限 3 直线x y 3 0上 解析 因为x是实数 所以x2 x 6 x2 2x 15也是实数 若已知复数z a bi 则当a0 且b 0时 复数z对应的点在第四象限 当a b 3 0时 复数z对应的点在直线x y 3 0上
