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1、2 充分条件与必要条件学习目标1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明.知识点一充分条件与必要条件“若p，则q”形式的命题为真命题是指：由条件p可以得到结论q，通常记作：pq，读作“p推出q”.此时我们称p是q的_条件，同时，我们称q是p的_条件.若pq，但qp，称p是q的_条件，若qp，但pq，称p是q的_条件.知识点二充要条件思考在ABC中，角A、B、C为它的三个内角，则“A、B、C成等差数列”是“B60”的什么条件？梳理(1)一般地，如果既有pq，又有qp，就记作pq，此
2、时，我们说，p是q的_条件，简称充要条件.(2)充要条件的实质是原命题“若p，则q”和其逆命题“若q，则p”均为真命题，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果pq，那么p与q互为充要条件.(3)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.若AB，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件若BA，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件若AB，则p，q互为充要条件若AB且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件其中p：Ax|p(x)成立，q：Bx|q(x)成立.类型一判断充分条件、必要条件、充要条件命题角度1在常见数学问题中的判断例1下列各题中，p是
3、q的什么条件？(1)p：ab0，q：a2b20；(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；(3)p：x1或x2，q：x1；(4)p：m0的解集是R，q：0a4；(2)p：|x2|3，q：1；(3)p：ABA，q：ABB；(4)p：q：命题角度2在实际问题中的判断例2如图所示的电路图中，“闭合开关A”是“灯泡B亮”的什么条件？反思与感悟“充分”的含义是“有它即可”，“必要”的含义是“无它不可”.用日常生活中的现象来说明“条件”和“结论”之间的关系，更容易理解和接受.用“条件”和“结论”之间的关系来解释生活中的现象，更加明白、透彻.跟踪训练2俗语云“好人有好报”，“好人”是“有好报”的()A
4、.充分条件 B.必要条件C.既不充分又不必要条件 D.无法判断类型二充要条件的探求与证明命题角度1充要条件的探求例3求ax22x10至少有一个负实根的充要条件是什么？反思与感悟探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件结论”和“结论条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件.跟踪训练3已知数列an的前n项和Sn(n1)2t(t为常数)，试问t1是否为数列an是等差数列的充要条件？请说明理由.命题角度2充要条件的证明例4已知A，B是直线l上的任意两点，O是直线l外一点，求证：点P在直线l上的充要条件是xy，其中x，yR，且xy1
5、.反思与感悟证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”“结论”，必要性需要证明“结论”“条件”.跟踪训练4已知ab0，求证：ab1是a3b3aba2b20的充要条件.类型三利用充分条件、必要条件求参数的值(或范围)例5已知函数f(x)的定义域为A，g(x)lg(xa1)(2ax)(a1)的定义域为B.(1)求A；(2)记p：xA，q：xB，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.反思与感悟在有些含参数的充要条件问题中，要注意将条件p和q转化为集合，从而转化为两集合之间的子集关系，再转化为不等式(或方程)，从
6、而求得参数的取值范围.根据充分条件或必要条件求参数范围的步骤：(1)记集合Mx|p(x)，Nx|q(x)；(2)若p是q的充分不必要条件，则MN，若p是q的必要不充分条件，则NM，若p是q的充要条件，则MN；(3)根据集合的关系列不等式(组)；(4)求出参数的范围.跟踪训练5设Ay|y，xR，By|yxm，x1,1，记命题p：“yA”，命题q：“yB”，若p是q的必要不充分条件，则m的取值范围为_.1.人们常说“无功不受禄”，这句话表明“受禄”是“有功”的()A.充分条件 B.必要条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件2.设命题p：x23x20，q：0，则p是q的()A.充分不必要条件 B
7、.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件3.“x24x50”是“x5”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4.记不等式x2x60的解集为集合A，函数ylg(xa)的定义域为集合B.若“xA”是“xB”的充分条件，则实数a的取值范围为_.5.“a0”是“直线l1：x2ay10与l2：2x2ay10平行”的_条件.充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法：(1)定义法：分清条件p和结论q，然后判断“pq”及“qp”的真假，根据定义下结论.(
8、2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题.(3)集合法：写出集合Ax|p(x)及集合Bx|q(x)，利用集合之间的包含关系加以判断.提醒：完成作业第一章2答案精析2充分条件与必要条件问题导学知识点一充分必要充分不必要必要不充分知识点二思考因为A、B、C成等差数列，故2BAC，又因为ABC180，故B60，反之，亦成立，故“A、B、C成等差数列”是“B60”的充分必要条件.梳理(1)充分必要题型探究例1解(1)ab0a2b20；a2b20ab0，p是q的必要不充分条件.(2)四边形的对角线相等四边形是矩形；四边形是矩形四边形的对角线相等，p是q的必要不充分条件.(3)x1或x
9、2x1；x1x1或x2，p是q的充要条件.(4)若方程x2xm0无实根，则14m0，即m.m1m；mm0满足题意；当a0时，由可得0a4.故p是q的必要不充分条件.(2)易知p：1x5，q：1x5，所以p是q的充要条件.(3)因为ABAABB，所以p是q的充要条件.(4)由根据同向不等式相加、相乘的性质，有即pq.但比如，当1，5时，而2，所以qp，所以p是q的充分不必要条件.例2解如图(1)，闭合开关A或者闭合开关C都可能使灯泡B亮.反之，若要灯泡B亮，不一定非要闭合开关A.因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充分不必要条件.如图(2)，闭合开关A而不闭合开关C，灯泡B不亮.反之，若要灯泡B亮
10、，则开关A必须闭合，说明“闭合开关A”是“灯泡B亮”的必要不充分条件.如图(3)，闭合开关A可使灯泡B亮，而灯泡B亮，开关A一定是闭合的，因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充要条件.如图(4)，闭合开关A但不闭合开关C，灯泡B不亮.反之，灯泡B亮也可不必闭合开关A，只要闭合开关C即可，说明“闭合开关A”是“灯泡B亮”的既不充分又不必要条件.跟踪训练2A例3解(1)当a0时，原方程变为2x10，即x，符合要求.(2)当a0时，ax22x10为一元二次方程，它有实根的充要条件是0，即44a0，a1.方程ax22x10只有一个负根的充要条件是即a0.方程ax22x10有两个负根的充要条件是即0a1.
11、综上所述，ax22x10至少有一个负实根的充要条件是a1.跟踪训练3解是充要条件.充分性：当t1时，Sn(n1)21n22n.a1S13，当n2时，anSnSn12n1.又a13适合上式，an2n1(nN)，又an1an2(常数)，数列an是以3为首项，2为公差的等差数列.故t1是an为等差数列的充分条件.必要性：an为等差数列，则2a2a1a3，解得t1，故t1是an为等差数列的必要条件.综上，t1是数列an为等差数列的充要条件.例4证明充分性：若点P满足xy，其中x，yR，且xy1，消去y，得x(1x)x()，x()，即x.点P在直线AB上，即点P在直线l上.必要性：设点P在直线l上，则由
12、共线向量基本定理知，存在实数t，使得tt()，tt(1t)t.令1tx，ty，则xy，其中x，yR，且xy1.跟踪训练4证明充分性：ab1，b1a，a3b3aba2b2a3(1a)3a(1a)a2(1a)2a313a3a2a3aa2a212aa20，即a3b3aba2b20.必要性：a3b3aba2b20，(ab)(a2abb2)(a2abb2)0，(a2abb2)(ab1)0.ab0，a0且b0，a2abb20.ab10，ab1.综上可知，当ab0时，ab1是a3b3aba2b20的充要条件.例5解(1)要使f(x)有意义，则3(x2)(2x)0，化简整理得(x1)(x1)0，解得x1或x1，Ax|x1或x1.
