《高中数学第一章常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词1.3.1且(and)1.3.2或(or)学案新人教A版选修2-1》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学第一章常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词1.3.1且(and)1.3.2或(or)学案新人教A版选修2-1(10页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、1.3.1且 (and) 1.3.2或 (or)学习目标1.了解联结词“且”“或”的含义.2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题,并判断其命题的真假.知识点一“且”思考观察三个命题:5是10的约数;5是15的约数;5是10的约数且是15的约数,它们之间有什么关系?从集合的角度如何理解“且”的含义.答案命题是将命题,用“且”联结得到的新命题,“且”与集合运算中交集的定义ABx|xA且xB中“且”的意义相同,表示“并且”,“同时”的意思.“且”作为逻辑联结词,与生活用语中“既,又”相同,表示两者都要满足的意思,在日常生活中经常用“和”“与”代替.梳理(1)定义:一般地,用联结词“且”把命
2、题p和命题q联结起来,就得到一个新命题,记作pq,读作“p且q”.当p,q都是真命题时,pq是真命题;当p,q两个命题中有一个命题是假命题时,pq是假命题.我们将命题p和命题q以及pq的真假情况绘制为命题“pq”的真值表如下:pqpq真真真真假假假真假假假假命题“pq”的真值表可简单归纳为“同真则真”.(2)“且”是具有“兼有性”的逻辑联结词,对“且”的理解,可联系集合中“交集”的概念,ABx|xA且xB中的“且”是指“xA”与“xB”这两个条件都要同时满足.(3)我们也可以用串联电路来理解联结词“且”的含义,如图所示,若开关p,q的闭合与断开分别对应命题p,q的真与假,则整个电路的接通与断开
3、对应命题pq的真与假.知识点二“或”思考观察三个命题:32;32;32,它们之间有什么关系?从集合的角度谈谈对“或”的含义的理解.答案命题是命题,用逻辑联结词“或”联结得到的新命题.“或”从集合的角度看,可设Axx满足命题p,Bxx满足命题q,则“pq”对应于集合中的并集ABxxA或xB.“或”作为逻辑联结词,与日常用语中的“或”意义有所不同,而逻辑联结词中的“或”含有“同时兼有”的意思.“p或q”有三层意思:要么只是p,要么只是q,要么是p和q, 即两者中至少要有一个.梳理(1)定义:一般地,用联结词“或”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题,记作pq,读作“p或q”.(2)判断用“或
4、”联结的命题的真假:当p,q两个命题有一个命题是真命题时,pq是真命题;当p,q两个命题都是假命题时,pq是假命题.我们将命题p和命题q以及pq的真假情况绘制为命题“pq”的真值表如下:pqpq真真真真假真假真真假假假命题“pq”的真值表可简单归纳为“假假才假”.(3)对“或”的理解:我们可联系集合中“并集”的概念ABx|xA或xB中的“或”,它是指“xA”,“xB”中至少有一个是成立的,即可以是xA且xB,也可以是xA且xB,也可以是xA且xB.(4)我们可以用并联电路来理解联结词“或”的含义,如图所示,若开关p,q的闭合与断开对应命题p,q的真与假,则整个电路的接通与断开分别对应命题pq的
5、真与假.类型一含有“且”“或”命题的构成命题角度1简单命题与复合命题的区分例1指出下列命题的形式及构成它的命题.(1)向量既有大小又有方向;(2)矩形有外接圆或有内切圆;(3)22.解(1)是pq形式命题.其中p:向量有大小,q:向量有方向.(2)是pq形式命题.其中p:矩形有外接圆,q:矩形有内切圆.(3)是pq形式命题.其中p:22,q:22.反思与感悟不含有逻辑联结词的命题是简单命题;由简单命题与逻辑联结词“或”“且”构成的命题是复合命题.判断一个命题是简单命题还是复合命题,不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”等逻辑联结词,而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题.如“四边相等
6、且四角相等的四边形是正方形”不是“且”联结的复合命题,它是真命题,而用“且”联结的命题“四边相等的四边形是正方形且四角相等的四边形是正方形”是假命题.跟踪训练1命题“菱形对角线垂直且平分”为_形式复合命题.答案pq命题角度2用逻辑联结词构造新命题例2分别写出下列命题的“p且q”“p或q”形式的命题.(1)p:梯形有一组对边平行,q:梯形有一组对边相等;(2)p:1是方程x24x30的解,q:3是方程x24x30的解.解(1)p或q:梯形有一组对边平行或有一组对边相等.p且q:梯形有一组对边平行且有一组对边相等.(2)p或q:1或3是方程x24x30的解.p且q:1与3是方程x24x30的解.反
7、思与感悟用逻辑联结词“或”“且”联结p,q构成新命题时,在不引起歧义的前提下,可以把p,q中的条件或结论合并.跟踪训练2指出下列命题的构成形式及构成它的命题p,q.(1)02;(2)30是5的倍数,也是6的倍数.解(1)此命题为“pq”形式的命题,其中p:02;q:02.(2)此命题为“pq”形式的命题,其中p:30是5的倍数;q:30是6的倍数.类型二“pq”和“pq”形式命题的真假判断例3分别指出“pq”“pq”的真假.(1)p:函数ysin x是奇函数;q:函数ysin x在R上单调递增;(2)p:直线x1与圆x2y21相切;q:直线x与圆x2y21相交.解(1)p真,q假,“pq”为真
8、,“pq”为假.(2)p真,q真,“pq”为真,“pq”为真.反思与感悟形如pq,pq,命题的真假根据真值表判定.如:pqpqpq真真真真真假假真假真假真假假假假跟踪训练3分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题的真假.(1)p:是无理数,q:不是无理数;(2)p:集合AA,q:AAA;(3)p:函数yx23x4的图象与x轴有公共点,q:方程x23x40没有实数根.解(1)p真q假,“p或q”为真,“p且q”为假.(2)p真q真,“p或q”为真,“p且q”为真.(3)p假q假,“p或q”为假,“p且q”为假.类型三已知复合命题的真假求参数范围例4设命题p:函数f(x)lg(a
9、x2xa)的定义域为R;命题q:关于x的不等式3x9x0对xR恒成立.当a0时,x0,不合题意;当a0时,可得即a2.(2)令y3x9x(3x)2.由x0,得3x1,y3x9x的值域为(,0).若命题q为真命题,则a0.由命题“p或q”为真命题,且“p且q”为假命题,得命题p,q一真一假.当p真q假时,a不存在;当p假q真时,0a2.满足条件的a的取值范围是a|0a2.反思与感悟解决此类问题的方法:首先化简所给的两个命题p,q,得到它们为真命题时,相应参数的取值范围;然后,结合复合命题的真假情形,确定参数的取值情况,常用分类讨论思想.跟踪训练4已知命题p:方程a2x2ax20在1,1上有解;命
10、题q:只有一个实数x满足不等式x22ax2a0,若命题“p或q”是假命题,求实数a的取值范围.解对于命题p:由a2x2ax20,得(ax2)(ax1)0,显然a0,x或x,x1,1,故|1或|1,即|a|1.p为假时得|a|1.对于命题q:只有一个实数x满足x22ax2a0,即抛物线yx22ax2a与x轴只有一个交点,由4a28a0,得a0或a2.q为假时得a0且a2.又命题“p或q”为假,即p与q都为假命题,a的取值范围是(1,0)(0,1).1.已知命题p、q,若p为真命题,则()A.pq必为真 B.pq必为假C.pq必为真 D.pq必为假答案C解析pq,见真则真,故必有pq为真.2.命题
11、“xy0”是指()A.x0且y0 B.x0或y0C.x、y至少有一个不为0 D.不都是0答案A解析满足xy0,即x,y两个都不为0,故选A.3.已知p:函数ysin x的最小正周期为,q:函数ysin 2x的图象关于直线x对称,则pq是_命题.(填“真”或“假”)答案假解析据题命题p为假命题,命题q也是假命题,故pq是假命题.4.已知命题p:函数f(x)(2a1)xb在R上是减函数;命题q:函数g(x)x2ax在1,2上是增函数,若pq为真,则实数a的取值范围是_.答案2,)解析命题p:由函数f(x)在R上为减函数得2a10,解得a,命题q:由函数g(x)x2ax在1,2上是增函数,得1,解得
12、a2.由pq为真得p、q都为真,故a的取值范围为(,)2,),即为2,).5.已知命题p:函数f(x)(xm)(x4)为偶函数;命题q:方程x2(2m1)x42m0的一个根大于2,一个根小于2,若pq为假,pq为真,求实数m的取值范围.解若命题p为真,则由f(x)x2(m4)x4m,得m40,解得m4.设g(x)x2(2m1)x42m,其图象开口向上,若命题q为真,则g(2)0,即22(2m1)242m0,解得m3.由pq为假,pq为真,得p假q真或p真q假.若p假q真,则m0 B.a0 C.a1 D.a1答案B解析方程x22xa0有实数根,44a0,解得a1.函数f(x)(a2a)x是增函数,a2a0,解得a1.pq为假命题,pq为真命题,p,q中一真一假.当p真q假时,得0a1;当p假q真