《高中数学第三章圆锥曲线与方程3.3双曲线教学案北师大选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第三章圆锥曲线与方程3.3双曲线教学案北师大选修2-1（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3 双_曲_线31双曲线及其标准方程 双曲线的定义2013年11月30日，中国海军第16批护航编队“盐城”导弹护卫舰，“洛阳”号导弹护卫舰在亚丁湾东部海域商船集结点附近正式会合，共同护航，某时，“洛阳”舰哨兵监听到附近海域有快艇的马达声，与“洛阳”舰哨兵相距1 600 m的“盐城”舰，3秒后也监听到了马达声(声速340 m/s)，用A、B分别表示“洛阳”舰和“盐城”舰所在的位置，点M表示快艇的位置问题1：快艇距我两护卫舰的距离之差是多少？提示：|MB|MA|34031 020(m)问题2：我两护卫舰为辨明快艇意图，保持不动，持续监测，发现快艇到我两舰距离之差保持不变，快艇运动有何特点？提示：始
2、终满足|MB|MA|1 020.双曲线的定义定义平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线焦点定点F1，F2叫作双曲线的焦点焦距两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距集合语言PM|2a,02a|F1F2|双曲线的标准方程上述问题中，设|AB|1 6002c, |MA|MB|1 0202a.问题1：以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则点M的轨迹方程是什么？提示：(c2a2)x2a2y2a2(c2a2)问题2：若以AB所在直线为y轴，AB的垂直平分线为x轴，则点M的轨迹方程为什么？提示：(c2a2)y2a2x2a2(
3、c2a2)双曲线的标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图像标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)焦点坐标F1(c,0)；F2(c,0)F1(0，c)；F2(0，c)a，b，c的关系c2a2b21双曲线定义中2a(02ab不一定成立c2a2b2与椭圆中的a2b2c2不同 双曲线的标准方程例1根据下列条件求双曲线的标准方程(1)求以椭圆1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，5)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线通过M(1,1)，N(2,5)两点，求双曲线的标准方程思路点拨用待定系数法，根据双曲线焦点的位置设方程，根据条件确定参数当已知双曲线的两个焦点和双曲线上某一点，也可利用双曲线的定义
4、求解精解详析(1)法一：(待定系数法)由题意知双曲线的两焦点F1(0，3)，F2(0,3)设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，将点A(4，5)代入双曲线方程得1，又a2b29，解得a25，b24.双曲线的标准方程为1.法二：(定义法)由题意知双曲线的两个焦点分别为F1(0，3)，F2(0,3)且A(4，5)在双曲线上，则2a|AF1|AF2|2，a，b2c2a2954.即双曲线的标准方程为1.(2)法一：若焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为1(a0，b0)因为M(1,1)，N(2,5)在双曲线上，所以解得若焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为1(a0，b0)同理有解得(不合题意，舍去)所以所求
5、双曲线的标准方程为1.法二：设所求双曲线的方程为mx2ny21(mn0)将点M(1,1)，N(2,5)代入上述方程，得解得所以所求双曲线的标准方程为1.一点通求双曲线标准方程的常用方法：(1)定义法：若由题设条件能够判断出动点的轨迹满足双曲线的定义，则可根据双曲线的定义确定方程(2)用待定系数法，具体步骤如下：1已知椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为10，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的差的绝对值等于4，则曲线C2的标准方程为()A.1B.1C.1 D.1解析：由题意知椭圆C1的两个焦点为(3,0)，(3,0)设曲线C2的标准方程为1(a0，b0)，则有a2b29，且2a4.a2
6、4，b25，故选A.答案：A2已知双曲线经过点P(3,2)和点Q(6，7)，求该双曲线的标准方程解：设所求双曲线的标准方程为mx2ny21(mn0，b0)，所以所以所求的双曲线的标准方程为1.曲线类型的判定例2已知曲线C：1(t0，t1)(1)求t为何值时，曲线C分别为椭圆、双曲线；(2)求证：不论t为何值，曲线C有相同的焦点思路点拨方程Ax2By21表示的轨迹是由参数A，B的值及符号确定，因此要确定轨迹，需对A，B进行讨论精解详析(1)当|t|1时，t20，t210，且t2t21，曲线C为椭圆；当|t|0，t211时，曲线C是椭圆，且t2t21，因此c2a2b2t2(t21)1，焦点为F1(
7、1,0)，F2(1,0)当|t|0，B0，且AB；表示双曲线的充要条件为AB0，若A0，则方程表示焦点在y轴上的双曲线；若B0，则方程表示焦点在x轴上的双曲线即双曲线的焦点位置是由x2，y2的系数的正负决定的4已知两定点F1(5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|PF2|2a，则当a3和a5时，P点的轨迹是()A双曲线和一条直线 B双曲线和一条射线C双曲线的一支和一条射线 D双曲线的一支和一条直线解析：由题意，|F1F2|10，当a3时，|PF1|PF2|2a610，此式中没有加绝对值，此时点P的轨迹是双曲线的一支；当a5时，|PF1|PF2|10|F1F2|，点P的轨迹为以F2为端点
8、沿x轴向右的一条射线答案：C5若方程1表示双曲线，则实数m满足()Am1且m3 Bm 1Cm或m D3m1解析：因为方程1表示双曲线，而m210恒成立，所以m230，解得m或m，故选C.答案：C双曲线的定义及应用例3若F1，F2是双曲线1的两个焦点，P是双曲线上的点，且|PF1|PF2|32，试求F1PF2的面积思路点拨欲求F1PF2的面积，可考虑用|PF1|PF2|sinF1PF2求解，只要求出F1PF2的正弦值即可而F1PF2的三边中，|PF1|PF2|6，|F1F2|10，故可考虑用余弦定理求解精解详析由双曲线方程1，可知a3，b4，c5.由双曲线的定义，得|PF1|PF2|2a6，将此
9、式两边平方，得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，|PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2|36232100.如图所示，在F1PF2中，由余弦定理，得cosF1PF20，F1PF290，SF1PF2|PF1|PF2|3216.一点通双曲线的定义是解决与双曲线有关的问题的主要依据，在应用时，一是注意条件|PF1|PF2|2a(02a|F1F2|)的使用，二是注意与三角形知识相结合，经常利用正弦、余弦定理，同时要注意整体代换思想的应用6已知F1，F2为双曲线C：x2y21的左右焦点，点P在C上，F1PF260，则|PF1|PF2|()A2B4C6D8解析：不妨设点P在双曲线的右
10、支上，所以|PF1|PF2|2a2，|F1F2|2c2，又因为F1PF260，所以在F1PF2中利用余弦定理可知：|F1F2|2(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|4，故选B.答案：B7在ABC中，|BC|2且sin Csin Bsin A，求点A的轨迹方程解：以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则B(1,0)，C(1,0)设A(x，y)，由sin Csin Bsin A及正弦定理可得|AB|AC|BC|10，b0)2a1,2c2，a，c1，b2c2a2，双曲线方程为4x21.|AB|AC|10，x，点A的轨迹方程是4x21.1用定
11、义法求双曲线的标准方程时，要注意是一支还是两支2用待定系数法求双曲线的标准方程的关键是判断焦点所在的位置 1双曲线1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为()A1或21B14或36C2 D21解析：设双曲线的左右焦点分别为F1，F2，不妨设|PF1|11，根据双曲线的定义知|PF1|PF2|2a10，所以|PF2|1或|PF2|21，而1ca752，故舍去|PF2|1，所以点P到另一个焦点的距离为21，故选D.答案：D2与椭圆y21共焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程是()A.y21 B.y21C.1 Dx21解析：c2413，共同焦点坐标为(，0)，设双曲线方程为1(a0，b0)，则由解得双曲线方程为y21.答案：A3k2是方程1表示双曲线的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件解析：k2方程1表示双曲线，而方程1表示双曲线(4k)(k2)0k4/ k2.答案：A4设P为双曲线x21上的 一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|PF2|32，则PF1F2的面积为()A6 B12C12 D24解析：由已知得2a2，又由双曲线的定义得，|PF1|PF2|2，|PF1|PF2|32，|PF1|6，|PF2|4.又|F1F2|2c2.由余弦定理得cos F1PF20.三角形PF1F2为直角三角形SPF1F2641
