《高中数学第二章平面向量2.3.1向量数量积的物理背景与定义2.3.2向量数量积的运算律学案新人教B必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第二章平面向量2.3.1向量数量积的物理背景与定义2.3.2向量数量积的运算律学案新人教B必修4（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3.1-2.3.2 向量数量积的物理背景与定义 向量数量积的运算律预习课本P107111，思考并完成以下问题(1)两向量的夹角是如何定义？(2)向量在轴上的正射影定义是什么？(3)怎样定义向量的数量积？向量的数量积与向量数乘相同吗？(4)向量数量积的性质有哪些？(5)向量数量积的运算律有哪些？ 1向量的夹角与正射影(1)向量的夹角.定义已知两个非零向量a，b，作a，b，则AOB称作向量a和向量b的夹角，记作a，b范围0a，b垂直当a，b时，我们说a与b垂直，记作ab规定零向量与任意向量垂直点睛当a与b共线同向时，夹角为0，共线反向时，夹角为180，所以两个向量的夹角的范围是0180.(2)
2、向量在轴上的正射影已知向量a和轴l，如图正射影的概念：作a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量 叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)正射影的数量：该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为，则由三角函数中的余弦定义有al|a|cos .点睛向量b在轴上的射影是一个向量，其在轴上的坐标为数量，其数值可正、可负、可为零；当为锐角时，该数量为正值；当为钝角时，该数量为负值；当为直角时，该数量为0；当0时，该数量为|b|；当180时，该数量为|b|.2平面向量数量积(内积)的定义及性质(1)
3、定义：|a|b|cosa，b叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作ab.点睛(1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定(2)两个向量的数量积记作ab，千万不能写成ab的形式(2)性质若e是单位向量，则eaae|a|cosa，e若ab，则ab0；反之，若ab0，则ab，通常记作abab0.(a，b均不为零向量)aa|a|2，即|a|.cosa，b(|a|b|0)对任意两个向量a，b有|ab|a|b|，当且仅当ab时等号成立点睛对于性质，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个向量垂直，只需判定它们的数量积为0；若两
4、个非零向量的数量积为0，则它们互相垂直3向量数量积的运算律(1)abba(交换律)(2)(ab)(a)ba(b)(结合律)(3)(ab)cacbc(分配律)点睛(1)向量的数量积不满足消去律：若a，b，c均为非零向量，且acbc，但得不到ab.(2)(ab)ca(bc)，因为ab，bc是数量积，是实数，不是向量，所以(ab)c与向量c共线，a(bc)与向量a共线，因此，(ab)ca(bc)在一般情况下不成立1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个向量的数量积仍然是向量()(2)若abbc，则一定有ac.()(3)若a，b反向，则ab|a|b|.()(4)若ab0，则ab.
5、()答案：(1)(2)(3)(4)2若向量a，b的夹角为30，则向量a，b的夹角为()A60B30C120D150答案：B3已知|a|10，|b|12，且(3a)36，则a与b的夹角为()A60 B120 C135 D150答案：B4已知a，b的夹角为，|a|2，|b|3.(1)若135，则ab_；(2)若ab，则ab_；(3)若ab，则ab_.答案：(1)3(2)6或6(3)0向量数量积的运算典例(1)已知向量a与b的夹角为120，且|a|4，|b|2，求：ab; (ab)(a2b)(2)如图，正三角形ABC的边长为，c，a，b，求abbcca.解(1)由已知得ab|a|b|cos 42co
6、s 1204.(ab)(a2b)a2ab2b216(4)2412.(2)|a|b|c|，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120，abbccacos 12033.向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算活学活用1已知|a|3，|b|4，a与b的夹角为120，求：(1)ab；(2)a2b2；(3)(2ab)(a3b)解：(1)ab|a|b|cos 120346.(2)a2b2|a|2|b|232427.(3)(2ab)(a3b)2a25ab3b
7、22|a|25|a|b|cos 1203|b|223253434260.2在ABC中，已知|5，|4，|3，求：(1) (2) 在方向上的正射影的数量解：因为|5，|4，|3，所以ABC为直角三角形，且C90.所以cos A，cos B.(1) 5416.(2)| |cos，.与向量的模有关的问题典例(1)(浙江高考)已知e1，e2是平面单位向量，且e1e2.若平面向量b满足be1be21，则|b|_.(2)已知向量a，b的夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_.解析(1)令e1与e2的夹角为，e1e2|e1|e2|cos cos .又0180，60.b(e1e2)0，b与e1，e2的
8、夹角均为30，be1|b|e1|cos 301，从而|b|.(2)a，b的夹角为45，|a|1，ab|a|b|cos 45|b|，|2ab|244|b|b|210，|b|3.答案(1)(2)3求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2|a|2，勿忘记开方(2)aaa2|a|2或|a|，可以实现实数运算与向量运算的相互转化 活学活用已知向量a，b满足|a|b|5，且a与b的夹角为60，求|ab|，|ab|，|2ab|.解：|ab|2(ab)2(ab)(ab)|a|2|b|22ab25252|a|b|cos 605025575，|ab|5.|ab
9、|2(ab)2(ab)(ab)|a|2|b|22ab|a|2|b|22|a|b|cos 6025，|ab|5.|2ab|2(2ab)(2ab)4|a|2|b|24ab4|a|2|b|24|a|b|cos 60175，|2ab|5.两个向量的夹角和垂直题点一：求两向量的夹角1(重庆高考)已知非零向量a，b满足|b|4|a|，且a(2ab)，则a与b的夹角为()A.B.C. D.解析：选Ca(2ab)，a(2ab)0，2|a|2ab0，即2|a|2|a|b|cosa，b0.|b|4|a|，2|a|24|a|2cosa，b0，cosa，b，a，b.题点二：证明两向量垂直2已知向量a，b不共线，且|2
10、ab|a2b|，求证：(ab)(ab)证明：|2ab|a2b|，(2ab)2(a2b)2.即4a24abb2a24ab4b2，a2b2.(ab)(ab)a2b20.又a与b不共线，ab0，ab0，(ab)(ab)题点三：利用夹角和垂直求参数3已知ab，|a|2，|b|3且向量3a2b与kab互相垂直，则k的值为()A B.C D1解析：选B3a2b与kab互相垂直，(3a2b)(kab)0，3ka2(2k3)ab2b20.ab，ab0，又|a|2，|b|3，12k180，k.求向量a与b夹角的思路(1)求向量夹角的关键是计算ab及|a|b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos ，最后借
11、助0，求出的值(2)在个别含有|a|，|b|与ab的等量关系式中，常利用消元思想计算cos 的值 层级一学业水平达标1已知ABCD中DAB30，则与的夹角为()A30B60C120 D150解析：选D如图，与的夹角为ABC150.2已知向量a，b满足|a|1，|b|4，且ab2，则a与b的夹角为()A. B.C. D.解析：选C由题意，知ab|a|b|cos 4cos 2，又0，所以.3已知|a|b|1，a与b的夹角是90，c2a3b，dka4b，c与d垂直，则k的值为()A6 B6C3 D3解析：选Bcd0，(2a3b)(ka4b)0，2ka28ab3kab12b20，2k12，k6.4已知
12、a，b满足|a|4，|b|3，夹角为60，则|ab|()A37 B13C. D.解析：选C|ab|.5在四边形ABCD中，且0，则四边形ABCD是()A矩形 B菱形C直角梯形 D等腰梯形解析：选B，即一组对边平行且相等，0，即对角线互相垂直，四边形ABCD为菱形6给出以下命题：若a0，则对任一非零向量b都有ab0；若ab0，则a与b中至少有一个为0；a与b是两个单位向量，则a2b2.其中，正确命题的序号是_解析：上述三个命题中只有正确，因为|a|b|1，所以a2|a|21，b2|b|21，故a2b2.当非零向量a，b垂直时，有ab0，显然错误答案：7设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60，则(2e1e2)(3e12e2
