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1、2 三角形中的几何计算学习目标1.能够运用正弦定理、余弦定理处理三角形中的计算问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理进行平面几何中的推理与证明知识点一平面图形中的计算问题思考问题：在ABC中，A，AB6，AC3，点D在BC边上，ADBD，求AD的长拿到该问题之后，到确定解决方案之前，你通常要做哪些工作？梳理对于平面图形的长度、角度、面积等计算问题，首先要把所求的量转化到三角形中，然后选用正弦定理、余弦定理解决构造三角形时，要注意使构造三角形含有尽量多个已知量，这样可以简化运算知识点二平面图形中的最值问题思考问题：直线x2y2k0与直线2x3yk0的交点在圆x2y29上或圆的内部，如何求k的最大值
2、？梳理类似地，对于求平面图形中的最值问题，首先要选用恰当的变量，然后选择正弦定理或余弦定理建立待求量与变量间的函数关系，借助于三角函数的相关知识求最值知识点三解三角形常用公式在ABC中，有以下常用结论：(1)abc，bca，cab；(2)ab_；(3)ABC，；(4)sin(AB)_，cos(AB)_，sin_，cos_.(5)三角形常用面积公式S_(ha表示a边上的高)；Sabsin C_；S(可由正弦定理推得)；S2R2sin Asin Bsin C(R是三角形外接圆半径)；Sr(abc)(r为三角形内切圆半径)类型一利用正弦、余弦定理求线段长度例1如图所示，在四边形ABCD中，ADCD，
3、AD10，AB14，BDA60，BCD135，求BC的长反思与感悟解决此类问题的关键是将已知条件转化为三角形的边角关系，再利用正弦、余弦定理求解跟踪训练1如图所示，在ABC中，已知BC15，ABAC78，sin B，求BC边上的高AD的长类型二利用正弦、余弦定理求角度问题例2在ABC中，已知AB，cosABC，AC边上的中线BD，求sin A的值反思与感悟运用正弦、余弦定理解决有关问题时，需根据需要作出辅助线构造三角形，再在三角形中运用定理求解跟踪训练2在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.设a，b，c满足条件b2c2bca2和，求A和tan B的值类型三利用正弦、余弦定理解决平
4、面几何中的面积问题例3已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m(a，b)，n(sin B，sin A)，p(b2，a2)(1)若mn，求证：ABC为等腰三角形；(2)若mp，边长c2，角C，求ABC的面积反思与感悟解本题的关键是灵活运用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，并能熟练地运用公式进行求值跟踪训练3(1)在ABC中，若已知三边为连续整数，最大角为钝角，求最大角的余弦值；(2)求以(1)中的最大角为内角，相邻两边之和为4的平行四边形的最大面积1三角形的两边长为3 cm、5 cm，其夹角的余弦值是方程5x27x60的根，则此三角形的面积是()A6 cm2 B. cm2C
5、8 cm2 D10 cm22在ABC中，周长为7.5 cm，且sin Asin Bsin C4 56，下列结论：abc456abc2a2 cm，b2.5 cm，c3 cmABC456其中成立的个数是()A0 B1 C2 D33ABC中，若A60，b16，此三角形面积S220，则a的值为()A7 B25C55 D494在ABC中，ab12，A60，B45，则a_.5在ABC中，三个角A、B、C的对边边长分别为a3，b4，c6，则bccos Aaccos Babcos C的值为_1正弦、余弦定理沟通了三角形中的边与角之间的数量关系2不论题目如何千变万化，变换条件也好，变换结论也好甚至在立体几何中的
6、计算问题，只要紧紧抓住正弦、余弦定理，依托三角恒等变换和代数恒等变换，就可以将复杂问题转化为简单问题来计算或证明答案精析问题导学知识点一思考画出图形 ；理清已知条件，要求的目标；根据条件目标寻求通过解三角形凑齐缺失条件知识点二思考先求出两直线交点坐标(4k，3k)，再把约束条件“点在圆上或内部”转化为代数式(4k)2(3k)29，从中求得k的最大值为.知识点三(2)sin Asin BAB(4)sin Ccos Ccos sin (5)ahaacsin Bbcsin A题型探究例1解在ABD中，由余弦定理，得AB2AD2BD22ADBDcosADB，设BDx，则有142102x2210xcos
7、 60，x210x960，x116，x26(舍去)，BD16.在BCD中，由正弦定理知，BCsin 308.跟踪训练1解在ABC中，由已知设AB7x，AC8x，x0，由正弦定理，得，sin C.又0C7x，知B也为钝角，不合题意，故C120.C60.由余弦定理，得(7x)2(8x) 215228x15cos 60，x28x150，解得x3或x5.AB21或AB35.在RtADB中，ADABsin BAB，AD12或20.例2解如图所示，取BC的中点E，连接DE，则DEAB，且DEAB.cosABC，cosBED.设BEx，在BDE中，利用余弦定理，可得BD2BE2ED22BEEDcosBED，
8、即5x22x.解得x1或x(舍去)，故BC2.在ABC中，利用余弦定理，可得AC2AB2BC22ABBCcosABC，即AC.又sinABC，sin A.跟踪训练2解方法一由余弦定理，得cos A.又0A180，A60.在ABC中，C180AB120B.由正弦定理，得，解得2，从而tan B.方法二由余弦定理，得cos A.所以A60.由b2c2bca2，得()21()213.由正弦定理，得sin Bsin A .由式可知ab，故BA，因此B为锐角，于是cos B，从而tan B.例3(1)证明mn，asin Absin B，ab，其中R是三角形ABC外接圆半径，a2b2，ab，ABC为等腰三
9、角形(2)解由题意可知mp0，即a(b2)b(a2)0.abab.由余弦定理可知，4a2b2ab(ab) 23ab，即(ab) 23ab40，ab4(舍去ab1)Sabsin C4sin.跟踪训练3解(1)设三边长分别为a1，a，a1，由于最大角是钝角，所以(a1) 2a2(a1) 20，解得0a4.又因为a为整数，所以a1或2或3.当a1时，a10，不合题意舍去；当a2时，三边长为1,2,3，不能构成三角形；当a3时，三边长为2,3,4，设最大角为，则cos .(2)sin .设相邻两边长分别为x，y，则xy4.所以面积Sxysin xyx(4x)(x2)24又因为x(0,4)，所以当x2时，S取得最大值.当堂训练1A2.C3.D4.36125.7
