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1、全国卷历年高考数列真题归类分析（2019.7含答案）（2015年-2019年共14套）一、等差、等比数列的基本运算（13小3大）1.（2016年1卷3）已知等差数列前9项的和为27,则 （ ）（A）100 （B）99 （C）98 （D）97【解析】由已知,所以选C.2（2017年1卷4）记为等差数列的前项和若，则的公差为（ ）A1B2C4D8【解析】：，作差，故而选C.3.（2018年1卷4） 设为等差数列的前项和，若，则（ ）A. B. C. D. 【解析】设该等差数列的公差为，根据题中的条件可得，整理解得，所以，故选B.4.（2019年3卷14）记Sn为等差数列an的前n项和，则_.【解析
2、】因，所以，即，所以5（2017年3卷9）等差数列的首项为1，公差不为0若，成等比数列，则前6项的和为（ ）ABC3D8【解析】为等差数列，且成等比数列，设公差为.则，即，又，代入上式可得，又，则，故选A.6.（2019年1卷9）记为等差数列的前n项和已知，则（ ）A. B. C. D. 【解析】由题知，解得，故选A方法2：本题还可用排除法，对B，排除B，对C，排除C对D，排除D，故选A7.（2017年2卷15）等差数列的前项和为，则 【解析】设等差数列的首项为，公差为，所以 ，解得 ，所以，那么 ，那么 .8.（2016年2卷17）为等差数列的前n项和，且，记，其中表示不超过x的最大整数，如
3、，（）求，；（）求数列的前项和【解析】设的公差为，记的前项和为，则当时，；当时，； 当时，；当时，9.（2017年2卷3）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A1盏 B3盏 C5盏 D9盏【解析】塔的顶层共有灯x盏，则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列，由可得，故选B.10.（2015年2卷4）等比数列an满足a1=3， =21，则（ ）（A）21 （B）42 （C）63 （D）84【解析】选B.设等比数列的公比为q,则a
4、1+a1q2+a1q4=21,又因为a1=3,所以q4+q2-6=0,解得q2=2,a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2=42.11（2017年3卷14）设等比数列满足，则_【解析】为等比数列，设公比为，即，显然，得，即，代入式可得，12.（2019年3卷5）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（ ）A. 16B. 8C. 4D. 2【解析】设正数的等比数列an的公比为，则，解得，故选C13.（2019年1卷14）记Sn为等比数列an的前n项和若，则S5=_【解析】设等比数列的公比为，由已知，所以又，所以所以14.（2016年1卷15）设等比数列满足a1+a3=10,a2+
5、a4=5,则a1a2 an的最大值为 【解析】：设等比数列的公比为,由得,解得.所以,于是当或时,取得最大值.15.（2018年2卷17） 记为等差数列的前项和，已知， （1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值【解析】（1）设an的公差为d，由题意得3a1+3d=15由a1=7得d=2所以an的通项公式为an=2n9（2）由（1）得Sn=n28n=（n4）216所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为1616.（2018年3卷17）等比数列中，（1）求的通项公式；（2）记为的前项和若，求【解析】（1）设的公比为，由题设得由已知得，解得（舍去），或故或（2）若，则由得，此方程没有正整数解若，
6、则由得，解得综上，【点评】等差、等比数列的考查主要是对数列通项公式与前n项和公式，基本性质的考查，熟练应用公式是解题的关键，渗透方程思想与数学计算等素养。常见题型与解题思路：1.等差、等比数列的基本运算问题解题思路及步骤注意事项列方程组根据题目所给的两个已知条件列方程统一未知数利用数列的通项公式、前n想和公式、等距性质统一用两个未知数表示，等差数列一般统一为a1和d，等比数列一般统一为a1和q解方程等差数列一般用加减消元或代入消元，等比数列一般用整体带入或除法消元回答问题跟据问题求出通项公式、前n项和公式等2.等差、等比数列等距性应用解题思路及步骤注意事项观察下标和关系观察题目中所给条件和结论
7、的下标和是否有相等或倍数关系应用性质若下标和相等，则应用性质简化运算. 应用性质时，不但要求等式两边下标和相等，还要求项数相等.等差数列常结合公式使用计算求解利用性质整体带入求解二、其他数列（可转化为等差等比，3小3大）1.（2018年1卷14）14. 记为数列的前项和，若，则_【解析】根据，可得，两式相减得，即，当时，解得，所以数列是以-1为首项，以2为公布的等比数列，所以，故答案是.2.（2015年2卷16）设是数列的前n项和，且，则_【解析】由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以3（2017年1卷12）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为
8、激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推。求满足如下条件的最小整数N：N100且该数列的前N项和为2的整数幂。那么该款软件的激活码是（ ）A440B330C220D110【解析】：将已知的数列列举成行列式的形式，第一行，1个数，求和为 第二行，2个数，求和为 第三行，3个数，求和为 第四行，4个数，求和为 第五行，5个数，求和为故而可得， 第n行，n个数，求和为，因此前n行，
9、一共有个数，求和为设N=，由N100，得因为和为2的整数幂，故，当时，不合题意，当时，故而选A.4（2015年1卷17）为数列的前项和.已知0，=.（）求的通项公式；（）设 ,求数列的前项和.【解析】（）当时，因为，所以=3，当时，=，即，因为，所以=2，所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，所以=；（）由（）知，=，所以数列前n项和为= =.5.（2016年3卷17）已知数列an的前n项和Sn=1+an,其中0.(1)证明an是等比数列,并求其通项公式.(2)若S5=,求.【解析】(1)由题意得a1=S1=1+a1,故a1=,由Sn=1+an,Sn+1=1+an+1得an+1=an+1-a
10、n,所以,因此数列是以a1=为首项,以为公比的等比数列,an=.(2)由(1)得Sn=1-,又因为S5=,所以=1-,即=,解得=-1.6.（2019年2卷19）已知数列an和bn满足a1=1，b1=0， ，.（1）证明：an+bn是等比数列，anbn是等差数列；（2）求an和bn的通项公式.解析】（1）由题设得，即又因为a1+b1=l，所以是首项为1，公比为的等比数列由题设得，即又因为a1b1=l，所以是首项为1，公差为2的等差数列（2）由（1）知，所以，【点睛】这类题主要考察由数列的递推公式求通项公式以及数列的求和，考查推理能力，考查化归与转化思想，以中档题为主。证明所构造的数列是等差数列
11、或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，各种数列求和方法和数列通项公式特征有关，根据通项公式特征选择恰当的方法求和。常见题型与解题思路：1. 由关于an的递推公式求通项公式问题解题思路及步骤注意事项判断递推关系类型迭代法（已经构造好新数列），累加法（型），累乘法（型），待定系数法（型），倒数法（型），因式分解法等构造新数列证明新构造数列为等差或等比数列求新数列通项公式求出原数列通项公式2. 由关于Sn与an的递推公式求通项公式问题解题思路及步骤注意事项用n-1代换递推公式中的n注意代还后式子成立的条件为n2两式作差应用公式统一成关于an的递推关系式（若题目求Sn，也可以统一成关于Sn
12、的递推关系式）验证n=1时递推关系式是否成立若所得递推关系式已经包含a1，则不需验证按题型2步骤求数列通项公式.3. 列项相消法数列求和问题解题思路及步骤注意事项判断是否可列项求和可列项求和的数列的通项公式主要特征是分式或根式，例如：，等列项逆向运算检验列项是否正确消项可用特殊替代一般来帮助确定哪些项被消掉，哪些项保留化简可将n=1代入，由S1=a1验证计算是否正确4.错位相减法数列求和问题解题思路及步骤注意事项判断是否可错位相减法求和可错位相减法求和的数列的通项公式主要特征是一次式与指数式的积，例如：，等列式分别列出Sn=，两边乘以等比数列的公比得qSn=，两式错位相减用-，注意错位相减的有n-1项，各式剩余项是相减关系用公式求和错位相减得到的n-1项为等比数列，可用等比数列前n项和公式求和，注意前n-1项和为化简求和结果将求和结果化简合并，注意代入S1=a1验证计算是否正确10
