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1、理科数学解答题专项训练(二) 专项一:三角函数（三角公式的应用，三角函数的性质）1、已知A、B、C三点的坐标分别为、 （1）若的值； （2）若1解：（1）， （2）由专项二：数学应用题（概率统计、函数建模）3、从2020年9月12日含有三聚氰胺的 “三鹿”婴儿毒奶粉事件曝光后，国家质检部门加大了对各种乳制品的检查力度。现随机抽取某品牌乳制品企业的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件。已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元。设1件产品的利润（单位：万元）为。（）求的分布列及1件产品的平均利润。（）为了
2、提高乳制品的质量，国内某名牌乳制品企业经技术革新，虽然仍有四个等级的产品，但次品率降为1，一等品率提高为70。如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，求三等品率最多是多少？3、解：（1）的取值：6、2、1、-2（1分）P（=6）=0.63；P（=2）=0.25；P（=1）=0.1；P（=-2）=0.02； （4分）的分布列：621P0.630.250.10.02E=60.63+20.25+10.1+（-2）0.02=4.34（6分）2）设三等品率最多为x。621P0.70.29-xx0.01（9分）E=60.7+2（0.29-x）+1x+（-2）0.014.73x0.03三等品率最多
3、为3（12分）4、某俱乐部举行迎圣诞活动，每位会员交50元活动费，可享受20元的消费，并参加一次游戏：掷两颗正方体骰子，点数之和为12点获一等奖，奖价值为a元的奖品；点数之和为11或10点获二等奖，奖价值为100元的奖品；点数之和为9或8点获三等奖，奖价值为30元的奖品；点数之和小于8点的不得奖。求：（1）同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖的概率；（2）如该俱乐部在游戏环节不亏也不赢利，求a的值。4解：（1）设掷两颗正方体骰子所得的点数记为（x，y），其中，则获一等奖只有（6，6）一种可能，其概率为：； 2分获二等奖共有（6，5）、（5，6）、（4，6）、（6，4）、（5，5）共5种可能
4、，其概率为：； 5分设事件A表示“同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖”，则有：P（A）=； 6分30-a-70030p（2）设俱乐部在游戏环节收益为元，则的可能取值为,0,7分其分布列为：则：E=； 11分由E=0得：a=310，即一等奖可设价值为310 元的奖品。 12分5、（09华附、省实、广雅联考）某投资公司计划投资、两种金融产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资金额成正比例，其关系如图1，产品的利润与投资金额的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：利润与投资金额单位：万元）（1）分别将、两产品的利润表示为投资金额的函数关系式；（2）该公司已有10万元资金，并全部投入、两种产
5、品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？ 图1图25解：（1）设投资为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元由题意设，由图知， 又， 从而， （2）设产品投入万元，则产品投入()万元，设企业利润为万元，令，则当时，此时 答：当产品投入6万元，则产品投入4万元时，该企业获得最大利润，利润为2.8万元专项三、立体几何（几何证明、几何计算，向量的运用）6、已知斜三棱柱，在底面上的射影恰为的中点，又知。（I）求证：平面；（II）求到平面的距离；（III）求二面角的余弦值。6解：（I）因为平面，所以平面平面，又，所以平面，得，又所以平面；4分（II）因为，所以四
6、边形为 菱形，故，又为中点，知。取中点，则平面，从而面面， 过作于，则面，在中，故，即到平面的距离为。（III）过作于，连，则，从而为二面角的平面角，在中，所以，在中，故二面角的大小为。12分解法2：（I）如图，取的中点，则，因为，所以，又平面，以为轴建立空间坐标系，则，由，知，又，从而平面；4分（II）由，得。设平面的法向量为，所以，设，则所以点到平面的距离。8分（III）再设平面的法向量为，所以，设，则，故，7、（09中山）如图，是直角梯形，90，1，2，又1，120，直线与直线所成的角为60.（）求证：平面平面;（）求二面角的大小;（）求三棱锥的体积.本题主要考察异面直线所成的角、平面与
7、平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知识，考察思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力。7解法一：（），又（4分）（）取的中点，则，连结，从而作，交的延长线于，连结，则由三垂线定理知，从而为二面角的平面角直线与直线所成的角为在中，由余弦定理得在中，在中，在中，故二面角的平面角大小为（10分）（）由（）知，为正方形（13分）解法二：（）同解法一 （4分）（）在平面内，过作，建立空间直角坐标系（如图）由题意有，设，则由直线与直线所成的解为，得，即，解得，设平面的一个法向量为，则，取，得平面的法向量取为设与所成的角为，则显然，二面角的平面角为锐角，故二面角的平
8、面角大小为（10分）（）取平面的法向量取为，则点A到平面的距离，（13分）8、（09茂名一中）如图，直角梯形ABCE中，D是CE的中点，点M和点N在ADE绕AD向上翻折的过程中，分别以的速度，同时从点A和点B沿AE和BD各自匀速行进，t 为行进时间，0。EDCABMN（1） 求直线AE与平面CDE所成的角；（2） 求证：MN/平面CDE。8解：（1）因，所以AD平面CDE，ED是AE在平面CDE上的射影，AED=450，所以直线AE与平面CDE所成的角为4504分（2）解法一：如图，取AB、AD所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系Axyz.ZYXMEBCDAN则 5分设， 得9分由，得，而是平面
9、CDE的一个法向量，且平面CDE，所以MN/平面CDE14分解法二：设在翻转过程中，点M到平面CDE的距离为，点N到平面CDE的距离为，则，同理QPNMEDCBA所以，故MN/平面CDE14分解法三：如图，过M作MQ/AD交ED于点Q，过N作NP/AD交CD于点P，连接MN和PQ5分设ADE向上翻折的时间为t，则，7分因，点D是CE的中点，得，四边形ABCD为正方形，ADE为等腰三角形. 10分在RtEMQ和RtDNP中，ME=ND，MEQ=NDP=450，所以RtEMQRtDNP，所以MQ/NP且MQ=NP，的四边形MNPQ为平行四边形，所以MN/PQ，因平面CDE，平面CDE，所以MN/平
10、面CDE14分专项四：解析几何专项训练（求动点轨迹方程，研究曲线的几何意义等综合性题）9、在平面直角坐标系内有两个定点和动点P，坐标分别为 、，动点满足，动点的轨迹为曲线，曲线关于直线的对称曲线为曲线，直线与曲线交于A、B两点，O是坐标原点，ABO的面积为，（1）求曲线C的方程；（2）求的值。9解：（1）设P点坐标为，则 ，化简得，所以曲线C的方程为；（2）曲线C是以为圆心，为半径的圆 ，曲线也应该是一个半径为的圆，点关于直线的对称点的坐标为，所以曲线的方程为，该圆的圆心到直线的距离为 ，或，所以，或。10、已知一动圆M,恒过点F，且总与直线相切,（）求动圆圆心M的轨迹C的方程；（）探究在曲线
11、C上,是否存在异于原点的两点,当时,直线AB恒过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由.10解：(1) 因为动圆M,过点F且与直线相切,所以圆心M到F的距离等于到直线的距离.所以,点M的轨迹是以F为焦点, 为准线的抛物线,且, 所以所求的轨迹方程为5分(2) 假设存在A,B在上,所以,直线AB的方程:,即 即AB的方程为:,即 即:，令,得，所以,无论为何值,直线AB过定点(4,0)11、已知长方形ABCD, AB=2,BC=1.以AB的中点为原点建立如图8所示的平面直角坐标系.()求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程;OABCD图8()过点P(0,2)的直线交()中椭圆于
12、M,N两点,是否存在直线,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.11解：()由题意可得点A,B,C的坐标分别为.1分设椭圆的标准方程是.2分则3分4分.5分椭圆的标准方程是6分OABCD图8()由题意直线的斜率存在,可设直线的方程为.7分设M,N两点的坐标分别为联立方程: 消去整理得, 8分有9分若以MN为直径的圆恰好过原点,则,10分,即所以,即11分得12分直线的方程为,或.13分存在过P(0,2)的直线:使得以弦MN为直径的圆恰好过原点. 14分专项五：数列（求数列通项，求数列前n项和等综合题）12、已知数列的前项和为，若， （1）证明数列为等差数列，并求其通项公式; （2）令，当为何正整数值时，：若对一切正整数，总有，求的取值范围。12解：（1）令，即 由 ，即数列是以为首项、为公差的等差数列， （2），即 ，又时，各项中数值最大为，对一切正整数，总有恒成立，因此13、已知，数列满足， （）求证：数列是等比数列； （）当n取何值时，取最大值，并求出最大值；（III）若对任意恒成立，求实数的取值范围13解：（I），
