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1、数 学 试 卷（理工类）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1、若复数，则( )A B C1 D2、设变量,满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）A4 B. 11 C. 12 D .143、右图是2020年底CCTV举办的全国钢琴、小提琴大赛比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）A.5;1.6B.85;1.6C.85;0.4D.5;0.44、下列命题 ：； ；“”的充要条件是“,或”. 中,其中正确命题的个数是 （ ）A. 0 B.1 C. 2 D
2、. 35、要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A、向左平移 B、向右平移 C、向左平移 D、向右平移俯视图主视图左视图第6题图6、如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则全面积是( )A B. C. 12 D . 87.如图, 共顶点的椭圆,与双曲线,的离心率分别为,其大小关系为 ( )8、已知函数，则方程在下面哪个范围内必有实根（ ）A. B. C. D.9、将20名城市义工（其中只有2名女性）平均分成两组，女性不在同一组的概率是（ ）A.B.C.D.10、函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是 （ ）A B C D 二、填空题（本大题
3、共6小题，每小题4分，共24分。把答案填在答题卷题中横线上）11展开式中项的系数等于数列：的第三项，则 （用数字作答）.12. 已知曲线与直线有两个不同的公共点，则实数的取值范围是_.13若向量与的夹角为120 ，且，则与的夹角为 .14函数与的图象所围成封闭图形的面积为 .15. 如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB=OB=2,PC切圆O于C点，CDAB于D点，则CD= . 16.为了在运行下面的程序之后得到输出y25，键盘输入x应该是 。 INPUT xIF x0 THEN y=(x+1)*(x+1) ELSE y=(x-1)*(x-1) END IFPRINT yEND三、解答题（
4、本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题共12分）已知向量，函数，（1）求函数的最小正周期；来源:高考资源网（2）在中，分别是角的对边，且，且，求的值18（本小题共12分）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设甲面试合格的概率为，乙、丙面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响求： （1）至少有1人面试合格的概率;（2）签约人数的分布列和数学期望19. （本小题共12分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（1）求证：平面BCD
5、；（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦；（3）求点E到平面ACD的距离20.（本小题共12分）已知动圆过定点，且与直线相切.(1) 求动圆的圆心轨迹的方程；(2) 是否存在直线，使过点（0，1），并与轨迹交于两点，且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.21（本小题共14分）已知数列的前n项和为，且对一切正整数n都有。（1）证明：；（2）求数列的通项公式；（3）设，求证：对一切都成立。22、（本小题共14分）已知函数（1）若 时，函数 在其定义域内是增函数，求b的取值范围（2）在（1）的结论下，设函数 ，求函数 的最小值；（3）设函数的图象C1 与函数的图象C2 交于P,Q两点，
6、过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于M、N两点，问是否存在点R，使C1 在M处的切线与C2 在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由。 数 学 试 卷（理工类）答案一、BBBCC CCBAD二、11。10 12。 1314 15. 16. 或三、解答题（本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分12分）解：（） -2分函数的最小周期 -4分（） -6分 -7分 是三角形内角 ， 即： -8分 即： -10分 将可得： 解之得： -12分18. （本小题满分12分）解: 用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知
7、A，B，C相互独立，且.-2分（1）至少有1人面试合格的概率是-4分（2）的可能取值为0，1，2，3.- -5分 -6分 = =-7分 -8分 -9分的分布列是0123的期望-12分19. （本题满分12分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（I）求证：平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的余弦；（III）求点E到平面ACD的距离解：方法一：（I）证明：连结OC在中，由已知可得而即 又 平面（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角。 在中，是直角斜边AC上的中线，异面直线AB与CD所
8、成角大小的余弦为,（III）解：设点E到平面ACD的距离为在中， 而点E到平面ACD的距离为方法二：（I）同方法一5分（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则6分7分9分异面直线AB与CD所成角大小的余弦为；（III）解：设平面ACD的法向量为则令得是平面ACD的一个法向量又点E到平面ACD的距离20. （本小题满分12分）（1）如图，设为动圆圆心， ，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：， 2分即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线， 动点的轨迹方程为 5分（2）由题可设直线的方程为，由得 ， 7分设，则， 由，即 ，于是， 即， ，解得或（舍去），10分又， 直线存在，其方程为 12分21（本小题满分14分）（I）有 易得（）由得=又所以（）22（本小题满分14分）解：（1）依题意： 在是增函数对恒成立，（2）设 则 函数化为 当函数y在【1，2】上为增函数， 当 当函数y在【1，2】上为减函数综上：当 ； 当； 当 （3）设点P、的坐标是（x1,y1）、（x2，y2），且0x11，则lnu=,u1 令，则 上单调递增，故这与矛盾，假设不成立，故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行。
