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1、上海市徐汇区2020届高三第二学期学习能力诊断卷数学（理科试卷）（考试时间：120分钟，满分150分） 一填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。1、函数的反函数 。2、设集合，若，则 。3、若事件与相互独立，且，则 。4、系数矩阵为，且解为的一个线性方程组是 。5、在中，分别是角所对的边，且，则角的大小为 。6、已知直线经过点且方向向量为，则原点到直线的距离为 。7、在的展开式中，的系数是15，则 。8、一个袋子里装有外形和质地一样的5个白球、3个绿球、2个红球，将它们充分混合后，摸得一个白球记1分，摸得一个
2、绿球记2分，摸得一个红球记4分，用随机变量表示随机摸得一个球的得分，则随机变量的均值为 。9、在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为cm的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升cm，则_cm10、若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的标准方程为 。11、设为非零实数，偶函数在区间上存在唯一零点，则实数的取值范围是 。 12、方程所表示的曲线与直线有交点，则实数的取值范围是 。13、在平面直角坐标系中，为坐标原点。定义、两点之间的“直角距离”为。已知，点为直线上的动点，则的最小值为 。14、设函数，为坐标原点，为函
3、数图象上横坐标为的点，向量与向量的夹角为，则满足的最大整数的值为 。二选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。15、极坐标方程表示的曲线是（ ）（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线 （D）抛物线 16、设是等比数列，则“”是“数列是递增数列”的（ ）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分又不必要条件17、函数的图象按向量平移后的函数解析式为。当函数为奇函数时，向量可以等于（ ）（A） （B） （C） （D）18、设非空集合满足：当时，有，给出如下三个命
4、题：若则；若则；若则其中正确的命题的个数为（ ）（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个三解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。19、（本题满分12分）第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分。关于的不等式的解集为（1）求实数、的值；（2）若，且为纯虚数，求的值20、（本题满分14分）第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分。（第20题）如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，圆柱的表面积为，。（1） 求异面直线与所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）求点到平面的距离。21、（本题满分14分）第（1）小题满分6
5、分，第（2）小题满分8分。如图1，是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段和曲线段分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤。为观光旅游的需要，拟过栈桥上某点分别修建与，平行的栈桥、，且以、为边建一个跨越水面的三角形观光平台。建立如图2所示的直角坐标系，测得线段的方程是，曲线段的方程是，设点的坐标为，记。（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度）（1）求的取值范围；（2）试写出三角形观光平台面积关于的函数解析式，并求出该面积的最小值。图2图122、（本题满分16分）第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分。定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆
6、的“特征三角形”。如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比。已知椭圆。（1） 若椭圆，判断与是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由；（2） 写出与椭圆相似且短半轴长为的椭圆的方程；若在椭圆上存在两点、关于直线对称，求实数的取值范围？（3） 如图：直线与两个“相似椭圆”和分别交于点和点， 试在椭圆和椭圆上分别作出点和点（非椭圆顶点），使和组成以为相似比的两个相似三角形，写出具体作法。（不必证明）23、（本题满分18分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分。设等比数列的首项为，公比为为正整
7、数），且满足是与的等差中项；数列满足。（1） 求数列的通项公式；（2） 试确定实数的值，使得数列为等差数列；（3） 当数列为等差数列时，对每个正整数，在和之间插入个2，得到一个新数列。设是数列的前项和，试求满足的所有正整数。2020学年第二学期徐汇区高三年级数学学科学 习 能 力 诊 断 卷 理科试卷参考答案及评分标准（2020.4）一 填空题：1 2 3 4. 5.和 61 7 81.9 9 10 11 12 13 4 143 二选择题： 15A 16C 17B 18D三解答题:19解：（1）原不等式等价于，即 -3分由题意得， 解得， -5分（2）， -7分若为纯虚数，则，即 -9分所以-
8、 12分20解：（1）解：以为原点，分别以，为，轴的正向，并以的垂直平分线为轴，建立空间直角坐标系.由题意，解得. -2分 易得相关点的坐标分别为：，.得， -4分设与的夹角为，异面直线 与所成的角为，则，得，-6分即异面直线 与所成角的大小为.-7分（2）设平面的法向量为，则，-10分取，得平面的一个法向量为，且，所以点到平面的距离。-14分21解：（1）由题意，得在线段CD：上，即， 又因为过点M要分别修建与OA、OB平行的栈桥MG、MK， 所以 -2分 -4分所以的取值范围是。 -6分 （2）由题意，得 所以-8分则，-10分因为函数在单调递减-12分所以当时，三角形观光平台的面积取最小
9、值为225平方米-14分22解：（1）椭圆与相似。-2分因为椭圆的特征三角形是腰长为4，底边长为的等腰三角形，而椭圆的特征三角形是腰长为2，底边长为的等腰三角形，因此两个等腰三角形相似，且相似比为-4分（2）椭圆的方程为：-6分设，点，中点为，则，所以则 -8分因为中点在直线上，所以有，-9分即直线的方程为：，由题意可知，直线与椭圆有两个不同的交点，即方程有两个不同的实数解，所以，即-10分（3）作法1：过原点作直线，交椭圆和椭圆于点和点，则和即为所求相似三角形，且相似比为。-16分作法2：过点A、点C分别做轴（或轴）的垂线，交椭圆和椭圆于点和点，则和即为所求相似三角形，且相似比为。-16分23解： （1）由题意，则，解得或因为为正整数，所以， -3分又，所以-6分（2）当时，得，同理：时，得；时，得，则由，得。-8分而当时，得。-10分由，知此时数列为等差数列。-12分（3）由题意知，则当时，不合题意，舍去；-13分当时，所以成立；-14分当时，若，则，不合题意，舍去；从而必是数列中的某一项，则-16分又，所以，即，所以因为为奇数，而为偶数，所以上式无解。即当时， -17分综上所述，满足题意的正整数仅有。-18分
