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1、2020年高考数学知识与能力测试题 (四)(理 科)一、 选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1已知,则= A. B. C. D. 2. 平面向量与向量夹角为,且,则= A、(2,1)或 B、或 C、(2,1) D、 3.,下列命题中正确的是A.若, 则 B. 若, 则C.若, 则 D. 若 , 则4. 已知实数、满足约束条件,则的最大值为 A. 24 B. 20 C. 16 D. 125.下列图象中,有一个是函数的导函数的图象,则= A. B. C. D. 或6.已知正四棱锥的侧棱与底边的边长都为,则这个四棱锥的外接球的表面积为A
2、. B. C. D. 7设函数在点处连续,则实数的值为A. B. C. 1 D.28函数满足,则的值是 A BC2 D二填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分把答案填在题中相应的横线上9若不等式对于区间内的任意都成立,则实数的取值范围是 ;10 将名大学生分配到3个企业去实习,不同的分配方案共有 种;如果每个企业至少分配去名学生,则不同的分配方案共有 种(用数字作答).11.已知一盒子中有散落的围棋棋子10粒,其中7粒黑子,3粒白子,从中任意取出2粒,若表示取得白子的个数,则E等于 ;12公比为的等比数列中,若是数列的前项积,则有也成等比数列,且公比为;类比上述结论,相应地在公差为的等差
3、数列中,若是的前项和,则数列 也成等差数列,且公差为 ;(第一个空3分,第二个空2分);13.已知,点是圆的动点,点N是圆的动点,则的最大值是 ;14、选做题:在下面三道题中选做两题,三题都选的只计算前两题的得分。已知,,则的取值范围是 ;圆心(2,-1),半径为3的圆的参数方程是 ;半径分别为1cm和2cm的两圆外切,作半径为3cm的圆与这圆均相切的,一共可作 个。三、解答题:本大题共6小题;共80分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15(本小题满分12分) 已知:,为实常数。(1) 求的最小正周期;(2) 若在上最大值与最小值之和为3,求的值。16.(本小题满分12分)在教室内有1
4、0个学生,分别佩带着从1号到10号的校徽,任意取3人记录其校徽的号码。(1)求最小号码为5的概率。(2)求3个号码中至多有一个是偶数的概率。(3)求3个号码之和不超过9的概率。17(本小题满分14分)如图,梯形中,是的中点,将沿折起,使点折到点的位置,且二面角的大小为。(1)求证:;(2)求直线与平面所成角的正弦值;(3)求点到平面的距离。18.(14分)设函数(1)求导数,并证明有两个不同的极值点; (2)若对于(1)中的不等式 成立,求的取值范围。19.(本小题满分14分) 已知数列满足,是的前项的和,.(1) 求;(2) 证明:。20(14分)已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点,它们在轴上
5、有共同焦点,椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴,抛物线的顶点为坐标原点。()求这三条曲线的方程;()已知动直线过点,交抛物线于两点,是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆截得的弦长为定值?若存在,求出的方程;若不存在,说明理由。2020年高考数学知识与能力测试题参考答案(四)(理 科)一、答案:1-4,CABB;5-8,BBDB提示:1,2检验3;4略;5先求,所以;6求得,;7,;8, 二、9.;10. 81,36;11. ;12.,;300;13. 2;14. 、 ;、 其中为参数; 、5。提示:9 数形结合,10,11 ,12 略13由对称性14略三、15.解: (I)的最小正周期(II)由得
6、, ,解得16.解:(1)从10人中任取3人,共有种,最小号码为5,相当于从6,7,8,9,10共五个中任取2个,则共有种结果。则最小号码为5的概率为=(2)选出3个号码中至多有一个是偶数,包括没有偶数和恰有一个偶数两种情况,共有种.所以满足条件的概率为(3)3个号码之和不超过9的可能结果有:(1,2,3),1,2,4),1,2,5),(1,2,6),(1,3,4),(1,3,5),(2,3,4)则所求概率为。17解: (1) 连结交于,连结, 又 ,即平分, 是等边三角形 ,。(2) 过作于,连接,设,则 ,就是直线与平面所成的角 是二面角的平面角 在中 (3) 在平面外, 点到平面的距离即
7、为点到平面的距离,过点作,垂足为, ,的长即为点到平面的距离。在菱形中 ,18.解:(1) 所以方程有两个不同的实数解,不妨设,则在区间和上,是增函数;在区间上,是减函数;故是极大值点,是极小值点。(2) 由 得:即又 且所以整理得 解得 所以当时,不等式成立。19.(1)由题意得于是 即当时, 当时, 又,所以,又可见,也适合,故 ().(2) 由(1)得:当时,;当时,而综上所证: 20 解:()设抛物线方程为,将代入方程得所以抛物线方程为。由题意知椭圆、双曲线的焦点为、。 设椭圆的方程为,则 ,椭圆的方程为。设双曲线的方程为,则 ,椭圆的方程为。()设的中点为,的方程为:,以为直径的圆交于两点,中点为。设,则 当时,此时,。