《2019-2020学年郴州市高二上学期期末数学试题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年郴州市高二上学期期末数学试题（解析版）（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2019-2020学年湖南省郴州市高二上学期期末数学试题一、单选题1已知，则复数（ ）ABCD【答案】B【解析】由复数除法运算整理可得结果.【详解】故选：【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题.2设，则“”是“”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解一元二次不等式和分式不等式可求得解集，根据集合的包含关系与充分、必要条件的关系可得到结果.【详解】的解集的解集且 “”是“”的必要不充分条件故选：【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，关键是能够根据不等式的解法求得解集，根据集合包含关系可得结果.3设等差数列的前项和为，已知，则（ ）
2、A24B20C16D18【答案】B【解析】由等差数列的性质可将所求式子化为，由求得后即可得到结果.【详解】 故选：【点睛】本题考查等差数列性质的应用，涉及到等差中项的性质、下标和性质的应用，属于基础题.4若，则下列命题正确的个数（ ）；A0B1C2D3【答案】B【解析】由特例，可验证出错误；由作差法可知正确.【详解】，当，时，对于：，则，错误；对于：，错误；对于：，则，错误；对于：当时， ，即，正确.故选：【点睛】本题考查根据不等式的性质判断不等关系的问题，关键是能够熟练掌握不等式的性质，解决此类问题通常采用特殊值法快速排除错误选项.5明代数学家吴敬所著的九章算术比类大全中，有一道数学命题叫“
3、宝塔装灯”，内容为：“远望魏巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增），根据此诗，可以得出塔的顶层有（ ）A3盏灯B192盏灯C195盏灯D200盏灯【答案】A【解析】由等比数列前项和公式可构造方程求得首项.【详解】设每层灯的盏数为等比数列，首项为顶层灯的盏数，公比，解得：，即顶层有盏灯故选：【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，涉及到等比数列前项和公式的应用，属于基础题.6已知椭圆的两个焦点为，且，弦过点，则的周长为（ ）A10B20CD【答案】D【解析】由焦距可求得，进而得到；由椭圆定义可求得结果.【详解】
4、由椭圆定义知：的周长为故选：【点睛】本题考查椭圆定义的应用，关键是明确所求三角形的周长实际为椭圆上两点到两焦点距离之和的总和，即.7在中，的面积为，则中最大角的正切值是（ ）A或BCD或【答案】D【解析】结合三角形面积公式求得，分为和两种情况；当时，自然为最大角，得到；当时，利用余弦定理求得，根据大边对大角原则可知最大；通过正余弦定理求得，进而求得.【详解】 或当时，最大角为，则当时，由余弦定理可得： 最大角为，综上所述：中最大角的正切值为或故选：【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到三角形面积公式、三角形大边对大角原则的应用等知识；关键是能够通过分类讨论的方式，根据边的长度
5、关系确定最大角.8若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（ ）ABCD2【答案】C【解析】根据垂径定理可构造出关于的齐次方程，进而得到关于离心率的方程，解方程求得结果.【详解】由圆的方程知：圆心，半径由双曲线方程得其渐近线方程为，即圆心到渐近线的距离 ，解得：故选：【点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题，涉及到垂径定理的应用；关键是明确直线被圆截得的弦长为.9已知函数，若直线与曲线相切，则实数的值为（ ）A3B2CD【答案】A【解析】设切点坐标，利用两点连线斜率公式和切点处的导数值表示出切线斜率，从而构造方程求得结果.【详解】由题意得：，直线恒过设直线与相切于点则，即 ，解得：
6、故选：【点睛】本题考查过某一点的曲线的切线方程的求解，关键是能够通过假设切点的方式，将切线斜率利用两点连线斜率公式和导数值分别表示出来，构造出等量关系.10对于函数，下列说法正确的有（ ）在处取得极大值；有两个不同的零点；在上是单调函数.A个B个C个D个【答案】C【解析】利用导函数的正负可确定的单调性，知错误；由单调性可知极大值点，并求得极大值，知正确；由零点存在定理和单调性可确定函数恰有两个不同零点，正确；根据单调性和函数值的大小可知正确.【详解】当时，；当时，在上单调递增，在上单调递减，错误；在处取得极大值，正确； 在必有一个零点又，即为的一个零点且在无零点恰有两个不同的零点，正确；， 又
7、在上单调递减 ，正确则正确的命题为：，共个故选：【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和零点个数的问题，涉及到零点存在定理的应用；关键是能够明确函数的单调性与导函数的正负之间的关系，属于导数部分知识的综合应用.二、填空题11已知，则_.【答案】9【解析】根据空间向量的坐标运算即可计算求得结果.【详解】 故答案为：【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，涉及到加法运算和数量积运算，属于基础题.12已知为坐标原点，点在抛物线上，点为抛物线的焦点，若的面积为32，则_.【答案】20【解析】由抛物线方程可知焦点坐标，利用三角形面积公式可求得点纵坐标，进而得到点横坐标；利用抛物线焦半径公式求得结果.
8、【详解】由题意得： 设，则，解得： 故答案为：【点睛】本题考查抛物线焦半径的求解，关键是能够利用三角形面积求得抛物线上点的横坐标.13平面直角坐标系中第一象限的点到点和到点的距离相等，则的最小值为_.【答案】3【解析】利用两点间距离公式可整理得到，由可得到符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值.【详解】 ，整理可得：（当且仅当，即时取等号）故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够对“”进行灵活应用，配凑出符合基本不等式的形式，属于常考题型.14已知数列的前项和为，若，则_.【答案】【解析】令可求得，根据可证得数列为等比数列，由等比数列通项公式求得结果.【详
9、解】当时，解得：当且时， 即数列是以为首项，为公比的等比数列 故答案为：【点睛】本题考查等比数列中的项的求解，关键是能够利用与的关系证得数列是等比数列，同时确定首项和公比.15已知函数，若存在实数满足，且，则的最大值为_.【答案】【解析】令，由数形结合知，由解析式可求得，从而将表示为关于的函数，利用导数可求得最值.【详解】令，则，如下图所示：， 令，则当时， 在上单调递增，即的最大值为故答案为：【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值问题，关键是能够将所求式子转化为关于某一变量的函数的形式，同时利用数形结合的方式确定变量的范围；易错点是忽略变量的取值范围，造成最值求解错误.三、解答题16已知在中
10、，角所对的边分别为，且，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】（1）将已知等式转化为余弦定理的形式求得，根据可得到结果；（2）利用正弦定理可求得，知，根据三角形内角和可求得，得到；由三角形面积公式求得结果.【详解】（1） （2）由（1）知：由正弦定理得： 又 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理和余弦定理的应用、三角形面积公式的应用等知识，属于常考题型.17已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，若，成等比数列.（1）求数列的通项公式，并求；（2）设，求数列前项和.【答案】（1）,（2）【解析】（1）利用等差数列性质；利用和表示出可求得，从而得
11、到等差数列通项公式并求得首项；由等差数列前项和公式求得；（2）由（1）可得通项公式，采用分组求和的方法，对的两个部分分别采用等比数列求和、裂项相消法求和，进而得到.【详解】（1） 由成等比数列得：设等差数列公差为，则解得： ，则（2）由（1）得：【点睛】本题考查等差数列通项公式和前项和的求解、数列求和中的分组求和、公式法和裂项相消法的应用等知识；确定求和方法的关键是能够通过通项公式的形式来选择对应的方法.18如图，四边形是平行四边形，且，四边形是矩形，平面平面，且.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）由面面垂直性质可得平面，可
12、知；由长度关系可结合勾股定理证得；利用线面垂直的判定定理证得结论；（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）平面平面，平面平面，平面，又平面 ，又，平面平面（2） 平面以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系设，则，则，由（1）知，平面 平面的一个法向量为设平面的一个法向量为，即，令，则， 设所求的锐二面角为，则【点睛】本题考查立体几何中线面垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；涉及到面面垂直的性质定理、线面垂直判定与性质定理的应用等知识，属于常考题型.19已知椭圆的离心率为，若椭圆上的点与两个焦点构成的三角形中，面积最大为1.（1
13、）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆的交于两点，为坐标原点，且，证明：直线与圆相切.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】（1）由椭圆上点为短轴端点时所给三角形面积最大可得，结合离心率和椭圆的关系，构造方程组求得，进而得到椭圆方程；（2）当的斜率存在时，设方程与椭圆方程联立，得到韦达定理的形式；利用垂直关系可得向量数量积等于零，代入韦达定理的结论整理可得；利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离，代入可求得；当的斜率不存在时，可求得方程，易知其与圆相切；综合两种情况可得结论.【详解】（1）椭圆上的点与两个焦点构成的三角形中，面积最大时椭圆上的点为短轴端点，又， 椭圆的标准方程为（2）设，当的斜率存在时，设由得：则， 又，即满足到直线的距离又圆的半径 直线与圆相切当的斜率不存在时，所在的两条直线分别为与椭圆方程联立可求得交点横坐标为或可得到所在的直线为：或直线与圆相切综上所述：当时，直线与圆相切【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、直线与圆位置关系的判定等知识；求解直线与椭圆综合问题的常用方法是将直线方程与椭圆方程联立，得到韦达定理的形式，
