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1、2018-2019学年安徽省马鞍山市第二中学高一下学期开学考试数学试题一、单选题1设集合（为实数集），则（ ）ABCD【答案】A【解析】根据集合交集与补集运算,即可求得.【详解】集合,所以所以故选:A【点睛】本题考查了集合交集与补集的混合运算,属于基础题.2（ ）ABCD【答案】C【解析】根据余弦二倍角公式,化简求,代入即可求解.【详解】根据余弦二倍角公式,所以则代入式子可得故选:C【点睛】本题考查了余弦二倍角公式的简单应用,三角函数求值,属于基础题.3已知函数，则（ ）A-1B0C2D3【答案】C【解析】根据分段函数解析式,先求得,再代入即可求解.【详解】因为函数则所以故选:C【点睛】本题考
2、查了分段函数的求值,属于基础题.4已知向量，.若，则（ ）A-8B-4C2D4【答案】B【解析】根据向量的坐标运算,先表示出,再由向量平行的坐标关系即可求得的值.【详解】由向量的坐标运算,可得因为所以由向量平行的关系可设代入坐标可得即,解方程组可得故选:B【点睛】本题考查了向量共线基本定理的应用,向量平行的坐标关系及运算,属于基础题.5若角的终边过点，则（ ）ABCD【答案】D【解析】根据终边所过点的坐标,可求得,再由诱导公式化简三角函数式即可求解.【详解】因为角的终边过点则由三角函数定义可得由诱导公式,化简故选:D【点睛】本题考查了三角函数的定义,诱导公式化简三角函数式,属于基础题.6已知的
3、边所在直线上有一点满足，则可以表示为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据在所在直线上且满足,可确定的位置.由向量的线性运算和平面向量基本定理,即可用作为基底表示出.【详解】因为在所在直线上且满足所以可确定的位置如下图所示:根据向量的线性运算及平面向量基本定理可知故选:A【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用,向量的加法与减法的线性运算,属于基础题.7已知，则，的大小关系为（ ）ABCD【答案】D【解析】根据指数函数与对数函数的图像与性质,即可比较大小.【详解】由指数函数与对数函数的图像与性质可知所以故选:D【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图像与性质,函数值大小的比较,属于基础题.8方程
4、的根所在的区间为（ ）ABCD【答案】B【解析】将方程变形,构造函数,根据函数单调性及零点存在定理即可判断零点所在区间.【详解】将方程变形,并构造函数因为和均为增函数,所以也为增函数由函数解析式可得由零点存在定理可得的零点在中间即方程的根所在的区间为故选:B【点睛】本题考查了方程的根与函数零点关系,函数零点的判断方法,注意在利用零点存在定理判断函数零点所在区间时,需判断函数零点的唯一性,即函数具有单调性,属于基础题.9函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据抽象函数定义域的求法,可得关于的不等式组,解不等式组即可求得函数的定义域.【详解】函数的定义域为,即所以函数的
5、定义域满足解不等式组可得即函数的定义域为故选:C【点睛】本题考查了抽象函数定义域的求法,关键在于对定义域概念的理解,属于中档题.10已知是定义在上的偶函数，当时，则不等式的解集为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据偶函数性质及时的解析式,可求得再R上的解析式.由偶函数图像特征即可得不等式,进而求得不等式的解集.【详解】因为是定义在上的偶函数,当时,令,则所以满足而偶函数满足所以当时, 即画出函数图像如下图所示:由函数图像可知,若成立,则满足或解得或即的解集为故选:A【点睛】本题考查了根据函数为偶函数求函数解析式,函数图像的画法,并由图像解不等式,属于中档题.11在中，是边上一点，且，则（ ）A
6、1B2C4D6【答案】B【解析】根据题意,建立平面直角坐标系,写出各个点的坐标.由在边上可设出D点坐标,再根据即可求得D的坐标,进而利用两点间距离公式求得.【详解】在中,是边上一点.建立平面直角坐标系如下图所示:则,而所以 直线的方程为 可设所以由向量的坐标运算可得则由题意可得解得 则则所以故选:B【点睛】本题考查了平面向量在几何中的应用,利用建立平面直角坐标系的方法,计算向量的数量积求参数,并求得向量的模,属于中档题.12将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的最小值为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据三角函数的平移变换,先求得的解析式.由
7、两个函数关于对称,可知当时两个函数的函数值相等,即可求得的表达式,进而求得的最小值.【详解】把函数的图象向左平移个单位长度可得因为函数的图象与函数的图象关于直线对称所以当时两个函数的函数值相等即化简可得由正弦函数的图像与性质可知, 则或所以当时,代入可得取得最小值当时，满足题意，故选:A【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变化,三角函数的对称性及正弦函数的性质应用,属于中档题.二、填空题13已知幂函数的图象过点，则_.【答案】【解析】先根据待定系数法求得函数的解析式，然后可得的值【详解】由题意设，函数的图象过点，故答案为【点睛】本题考查幂函数的定义及解析式，解题时注意用待定系数法求解函数的解析
8、式，属于基础题14已知大小为的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积为_.【答案】.【解析】根据圆心角及弦长求得扇形的半径,进而求得扇形的弧长,即可由扇形面积公式求得扇形面积.【详解】因为圆心角为 圆心角所对的弦长为2,则扇形的半径为2所以扇形的弧长为所以由面积公式可得故答案为:【点睛】本题考查了扇形的弧长及面积求法,属于基础题.15已知向量与满足，则与的夹角为_.【答案】.【解析】根据向量的运算可将化简得,即.再根据即可求得与的夹角,即可求得与的夹角.【详解】因为,两边同时平方可得,即所以以与为长作矩形,如下图所示:则,所以即为与的夹角因为则所以故答案为: 【点睛】本题考查了平面向
9、量的模长及夹角运算,向量在几何中的应用,属于基础题.16函数，的零点个数为_个.【答案】4.【解析】根据题意,令.分别画出函数的图像,即可判断函数零点个数.【详解】函数,的零点即,变形可得画出的图像如下图所示:由函数图像可知,当时, 且结合函数图像即可判断出,在的零点个数为个故答案为:【点睛】本题考查了函数零点的定义,利用图像法判断函数零点个数,属于基础题.17函数在时取得最小值，则_.【答案】.【解析】根据辅助角公式化简,结合三角函数的性质即可求解.【详解】由辅助角公式化简函数可得当时取得最小值.由题意,当时取得最小值即所以则故答案为:【点睛】本题考查了辅助角公式化简三角函数式,当角度为非特
10、殊角时三角函数值的求法,余弦函数的图像与性质的应用,综合性较强,属于中档题.三、解答题18已知函数的定义域为，函数（且）（）的值域为.（1）若，求；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）根据对数函数的性质可解一元二次不等式求得集合,代入及集合A可求得集合B,进而由集合的并集运算求得.（2）分类讨论与两种情况.根据函数单调性表示出集合B,再由即可求得的值.【详解】（1）函数的定义域为,则由对数函数的性质可知解不等式可得集合,函数（且）（）的值域为.当时,可得,可得,由集合的并集运算可得.（2）当时, 函数单调递减由集合可得集合B的值域为,解得,当时, 函数单调递增由集合可得集
11、合B的值域为,而同理：,综上可知,或.【点睛】本题考查了对数函数与指数函数的图像与性质,分类讨论思想的综合应用,属于基础题.19已知函数，.（1）若，求的值；（2）求函数的单调递增区间.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据,代入可求得的值.求得的表达式,并根据齐次式的求法求解即可.（2）根据辅助角公式,化简,代入可求得的表达式并由诱导公式化简,结合正弦函数的图像与性质即可求解.【详解】（1）,化简可得.（2）,则由正弦函数的图像与性质可得单调递增区间满足令解得,故的单调递增区间为.【点睛】本题考查了三角函数式的化简求值,齐次式的求值方法,辅助角公式的应用,正弦函数的图像与性质的应用,属于
12、中档题.20已知函数是定义在上的奇函数，当时，.（1）求函数的解析式；（2）判断函数在上的单调性，并用定义法证明.【答案】（1）；（2）在上单调递减，证明见解析.【解析】（1）令,则,根据奇函数性质可求得当时的解析式.即可得函数的解析式;（2）根据函数解析式可判断函数在上单调递减.根据定义法, 任取,并作差,化简变形即可证明函数的单调性.【详解】（1）令,则,所以,又由奇函数的性质可知,时,故.（2）在上单调递减.证明:任取,则,故,则,故,即,在上单调递减.【点睛】本题考查了分段函数解析式的求法,奇函数的性质及应用,利用定义证明函数的单调性方法,属于基础题.21已知为内一点，且满足，延长交于
13、点.记，.（1）试用，表示；（2）求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据向量的加法与减法的线性运算,化简即可用,表示;（2）由平面向量共线基本定理,可设和.根据向量的线性运算化简,结合（1）可得关于的方程组,解方程组可求得.即可求得.【详解】（1）,则.（2）设,则,设,则,即.【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用,平面向量加法与减法的线性运算,平面向量共线基本定理的应用,综合性较强,属于中档题.22已知函数，.（1）若，求函数的解析式和最小正周期；（2）若，求函数的最大值.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）将代入,即可解方程求得的值.利用正弦和余弦的二倍角公式及辅助角公式化简,即可求得解析式.再由周期公式即可求得最小正周期.（2）将代入,即可解方程求得的值.利用余弦的二倍角公式化简,即可求得关于的解析式.结合二次函数的性质,分类讨论的取值情况,即可求得的最大值.【详解】（1）,解得故最小正周期为.（2）,解得则,当即时,当即时,故.【点睛】
