2019-2020学年湖南省怀化市高二下学期期末数学(文)试题（含答案）

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1、绝密 启用前 2018 2019 学年湖南省怀化市高二下学期期末数学 文 试题 注意事项 1 答题前填写好自己的姓名 班级 考号等信息2 请将答案正确填写在 答题卡上 一 单选题 1 已知 i是虚数单位 则复数 1 2 2 i i 等于 A iB i C 5iD 4 5 i 答案 A 根据复数的运算 化简即可得解 解 复数 12 2 i i 化简可得 1 2 2 i i 122 22 ii ii 2 2 52 5 ii i 所以选 A 点评 本题考查了复数的乘法 除法和加法运算 属于基础题 2 设集合 则等于 A B C D 答案 D 试题分析 由 所以 故选 D 考点 集合的运算 3 6 是

2、 1 sin 2 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 答案 A 根据 6 和 1 sin 2 之间能否推出的关系 得到答案 解 由 6 可得 1 sin 2 由 1 sin 2 得到2 6 k或 5 2 6 k kZ 不能得到 6 所以 6 是 1 sin 2 的充分不必要条件 故选 A 点评 本题考查充分不必要条件的判断 属于简单题 4 已知等比数列 n a 中 3 3a 则15 a a 等于 A 9 B 5 C 6D 无法确定 答案 A 根据等比中项定义 即可求得 15 a a 的值 解 等比数列 n a 由等比数列中等比中项定义可知 2 153

3、 a aa 而 3 3a 所以 2 153 9a aa 所以选 A 点评 本题考查了等比中项的简单应用 属于基础题 5 已知向量a1 2 v bx 2 v 且a b v v 则ab v v 等于 A 5 B 5C 4 2D 31 答案 B 由向量垂直可得 0a b r r 求得 x 及向量 b r 的坐标表示 再利用向量加法的坐标运算 和向量模的坐标运算可求得模 解 由a b v v 可得 0a b r r 代入坐标运算可得x 4 0 解得 x 4 所以 ab v v 5 0 得ab v v 5 选 B 点评 求向量的模的方法 一是利用坐标 22 ax yaxy vv 二是利用性质 2 aa

4、vv 结合向量数量积求解 6 椭圆 22 1 259 xy 上一点P到一个焦点的距离为6 P到另一个焦点的距离为 A 5 B 6 C 4 D 10 答案 C 根据椭圆的定义求解 解 由椭圆方程知5a 则根据椭圆定义得P到另一焦点的距离为2564d 故选 C 点评 本题考查椭圆的定义 属于基础题 7 关于函数 2 2sincos2 3 cosf xxxx 下列结论中不正确 的是 A f x 在区间 0 4 上单调递增B f x 的一个对称中心为 3 6 C fx的最小正周期为D 当 0 2 x时 f x 的值域为 2 3 0 答案 D 根据正弦与余弦的二倍角公式 结合辅助角公式化简函数 2 2s

5、incos2 3 cosf xxxx 根据正弦函数的性质即可判断选项 解 由正弦与余弦的二倍角公式 结合辅助角公式化简函数 2 2sincos2 3 cosf xxxx可得 2 2sincos2 3 cosf xxxx sin23 cos23xx 2sin23 3 x 则单调递增区间为222 232 kxk kZ 即 1212 kxk 因为 0 4 为一个子区间 所以A选项正确 对称中心为2 3 xk kZ 即 26 k x 且 3 6 f 所以 3 6 为一个对称中心 所以B正确 最小正周期为 22 2 T 所以 C正确 当 0 2 x时 2 2 333 x 所以 2sin232 3 23

6、3 x 所以 D选项错误 综上 所以选D 点评 本题考查了三角函数式的恒等变形 二倍角公式及辅助角公式的用法 正弦函数的性质 综合应用 属于基础题 8 函数 32 23125yxxx在2 1上的最大值 最小值分别是 A 12 15B 1 8C 5 16 D 12 8 答案 D 求得导函数 令 0y 即可求得极值点 再代入端点值即可求得最大值与最小值 解 函数 32 23125yxxx 所以 2 6612612yxxxx 令 0y解方程可得 12 1 2xx x22 1 1 1 1 1 y0 y 1 极大值128 由表格可知 函数 32 23125yxxx在2 1上的最大值为12 最小值为8 所

7、以选 D 点评 本题考查利用导数求函数在某区间内的最大值与最小值 注意函数端点处对函数最值的 影响 属于基础题 9 如图的三视图表示的四棱锥的体积为 32 3 则该四棱锥的最长的棱的长度为 A 4 2 B 2 17C 6 D 4 3 答案 C 根据三视图 画出空间结构体 即可求得最长的棱长 解 根据三视图 画出空间结构如下图所示 由图可知 PA 底面ABCD 所以棱长 PC最长 根据三棱锥体积为 32 3 可得 132 44 33 m 解得2m 所以此时 222 16 1646PCPAADDC 所以选 C 点评 本题考查了空间几何体三视图 三棱锥体积的简单应用 属于基础题 10 函数sin x

8、x yeex的部分图象大致为 A B C D 答案 C 根据函数的奇偶性与正负值排除判定即可 解 函数 sin xx fxeexf x 故函数是奇函数 图像关于原点对称 排除 B D 当x 0 且x 0 f x 0 排除 A 故选 C 点评 本题主要考查了函数图像的判定 属于基础题型 11 已知正项等比数列 765 2 n aaaa满足若存在两项 m a n a使得 1 4 mn a aa 则 14 mn 的最小值为 A 3 2 B 5 3 C 25 6 D 不存在 答案 A 设公比为0 q则 22 55552 0 20a qa qa aqq 解得 2 q 所以由 1 4 mn a aa得 1

9、122 111 2216 216 6 mnm n aaamn即 1411414143 5 52 6662 nmnm mn mnmnmnmn 故选 A 12 已知O为坐标原点 双曲线 22 22 1 xy ab 0 0 ab 上有 A B两点满足 OAOB 且点O到直线AB的距离为 c 则双曲线的离心率为 A 51 2 B 5 C 13 2 D 3 答案 A 讨论直线 AB的斜率是否存在 当斜率不存在时 易得直线AB的方程 根据OAOB 及点 O到直线 AB距离即可求得abc 的关系 进而求得离心率 当斜率存在时 设 出直线方程 联立双曲线方程 结合OAOB及点到直线距离即可求得离心率 解 1

10、当直线 AB的斜率不存在时 由点O到直线AB的距离为 c可知直线 AB的方程 为xc 所以线段 2 2b AB a 因为OAOB 根据等腰直角三角形及双曲线对称性可知 2 b c a 即 2 bac 双曲线中满足 222 bca 所以 22 acca 化简可得 22 0caca同时除以 2 a得 2 10ee 解得 15 2 e 因为1e 所以 15 2 e 2 当直线 AB的斜率存在时 可设直线方程为 ykxm 联立方程可得 22 22 1 ykxm xy ab 化简可得 222222222 20ba kxa kmxa ma b 设 1122 A xyB xy 则 2 12222 2a km

11、 xx ba k 2222 12222 a ma b x x a kb 22 12121212 y ykxmkxmk x xkm xxm 22222 222 a k bb m a kb 因为点O到直线 AB的距离为 c 则 2 1 m c k 化简可得 2222 mk cc 又因为OAOB 所以 222222222 1212 222222 0 a ma ba k bb m x xy y a kba kb 化简得 2222222222 0abk cca ba k b 即 2242 10a cbk 所以 224 0a cb 双曲线中满足 222 bca 代入化简可得 2 2222 0a cca 求

12、得 2 35 2 e 即 15 2 e 因为1e 所以 15 2 e 综上所述 双曲线的离心率为 15 2 e 所以选 A 点评 本题考查了双曲线性质的应用 直线与双曲线的位置关系 注意讨论斜率是否存在的情 况 计算量较大 属于难题 二 填空题 13 设x y满足约束条件 0 23 21 xy xy xy 则2zxy 的最大值为 答案 3 画出不等式组表示的平面区域 数形结合即可求得结果 解 画出不等式组表示的平面区域 如下所示 目标函数2zxy可转化为 1 22 z yx 与直线 1 2 yx平行 数形结合可知 当目标函数经过线段AB上任意一点 都可以取得最大值 故123 max z 故答案

13、为 3 点评 本题考查简单线性规划问题的处理 属基础题 14 某球的体积与表面积的数值相等 则球的半径是 答案 3 试题分析 解得 考点 球的体积和表面积 15 曲线 31 3 yx在 8 2 3 P点处的切线方程为 答案 123160 xy 先求得函数的导数 根据导数的几何意义求得切线的斜率 根据点斜式求得切线方程 解 曲线 3 1 3 yx 所以 2 yx 点 8 2 3 P在曲线上 所以 2 24k 所以由点斜式可得 8 42 3 yx 化简可得123160 xy 点评 本题考查了导数的几何意义 切线方程的求法 属于基础题 16 f x 满足 存在 0TR T 对定义域内的任意x fxT

14、f xf T 恒 成立 则称 f x 为T函数 现给出下列函数 1 y x x ye lnyx sinyx 其中为T函数的序号是 把你认为正确的序号都填上 答案 根据T函数的定义即可对各函数进行判断 解 对于 1 f xT xT 11 f xf T xT 2 2 22 3 111 24 0 T xT xxTT f xTf xf T xTxTxTxT 所以 不符合 对于 函数 x ye的定义域为 R 若 f xTfxf T 令0 x 可得 00f 显然 0 1ye 所以 不符合 对于 函数lnyx的定义域为0 lnf xTxT lnlnlnf xf TxTxT 若 f xTf xf T恒成立 则

15、1xTxTTxT 当1T时 方程无实解 当 1T 时 1 T x T 所以 不符合 因为 2 sin2sinf xxx 2 sinf xfx 对定义域内的任意 x f xTf xf T 恒成立 符合定义 综上 所以 为T函数 故答案为 点评 本题考查了函数中的新定义 注意根据函数的特征判断出函数的性质 属于中档题 三 解答题 17 设等差数列 n a 的前 n项和为 n S 且 42 4SS 12 21aa 1 求数列 n a的通项公式 2 设数列 1 1 n nn b a a 求 n b的前n项和 n T 答案 1 21 n an 2 21 n n 试题分析 1 将已知条件转化为数列的首项和

16、公差表示 通过解方程组可得到基本量 的值 从而求得通项公式 2 借助于 1 可求得 n b 的通项公式 结合特点利用列 项求和法求和 试题解析 1 由已知有 1 a1 d 2 则 21 n an 2 1111 21 21 2 2121 n b nnnn 则 21 n n T n 考点 数列求通项公式就和 18 如图 四棱锥PABCD的底面是正方形 PA 平面ABCD 2PA 45PDA o 点 E F分别为棱 AB PD的中点 求证 平面 PCE 平面PCD 求三棱锥CBEP的体积 答案 证明见解析 2 3 根据题意 可得 PAADPACD AF 平面PCD EG平面PCD 即 可证明平面PCE平面PCD 通过等体积法可知三棱锥CBEP的体积即为三棱锥PBCE的体积 即 1 3 CBEPPBCE VVS BCEPA 即可求得三棱锥CBEP的体积 解 Q PA平面ABCD AD平面ABCD CD平面ABCD PAAD PACD QADCD PA ADA PA平面PAD AD平面PAD CD平面PAD Q AF平面PAD CD AF 直角三角形 PAD中 45PDA o PAD是等腰直角三