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1、高三文科数学试题 第 1 页 共 4 页 准考证号 姓名 在此卷上答题无效 高三文科数学试题 本试卷共 4 页 满分 150 分 注意事项 1 答题前 考生务必在试题卷 答题卡规定的地方填写自己的姓名 准考证号 考生要 认真核对答题卡上粘贴的条形码的 准考证号 姓名 与考生本人准考证号 姓名是否 一致 2 选择题每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改 动 用橡皮擦干净后 再选涂其它答案标号 非选择题用 0 5 毫米黑色签字笔在答题 卡上书写作答 在试题卷上作答 答案无效 3 考试结束后 考生必须将本试卷和答题卡一并交回 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题
2、 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 已知i为虚数单位 则复数 2i 1i A i B 1 i C i D 1 i 2 已知集合 2 23 0 22 Ax xxBxx 则AB A 2 1 B 1 2 C 1 1 D 1 2 3 已知函数 2 2 0 log 0 x x f x x x 则 4 f A 3 B 1 16 C 8 D 2 4 直线2x 被圆 22 4xay 所截弦长等于2 3 则实数a的值为 A 1 或3 B 2 C 3 D 1或3 5 设yx 满足约束条件 0 20 240 xy xy xy 则yxz2 的最大值为 A 2 B 3 C
3、12 D 13 高三文科数学试题 第 2 页 共 4 页 6 在等差数列 n a中 65 2aa 则 17 aa A 0 B 1 C 2 D 3 7 已知向量a b的夹角为45 且1 a 3 2 b 则2 ab A 10 B 2 2 C 5 D 4 2 8 中国古代数学名著 九章算术 中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器 商 鞅铜方升 某商鞅铜方升模型的三视图 如图所示 单位 寸 若 取3 则该 模型的体积 单位 立方寸 为 A 11 9 B 12 6 C 13 8 D 16 2 9 若函数 3sincosf xxxm 在 0 上的最小值是1 则实数m的值为 A 1 B 1 C 0 D
4、 3 10 已知四边形ABCD是矩形 PA 平面ABCD 1 2 2ABBCPA E为BC 的 中点 则异面直线AE与PD所成的角为 A 6 B 4 C 3 D 11 函数xxxf 2 ln 的图象大致为 A B C D 12 已知点F是双曲线 22 22 1 0 0 xy Cab ab 的左焦点 P为C右支上一点 以C的实 轴为直径的圆与线段PF交于 AB两点 且 AB是线段PF的三等分点 则C的渐近 线方程为 A 1 3 yx B 6 2 5 yx C 5 2 12 yx D 97 5 yx 高三文科数学试题 第 3 页 共 4 页 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20
5、 分 13 曲线xyln 在1 x处的切线方程为 14 已知 0 tan2 2 则 sin 4 15 设椭圆C 22 22 1 0 xy ab ab 的左 右焦点分别为 12 FF 上顶点为A 在x轴 负半轴上有一点B 满足 112 BFFF 且 2 ABAF 则椭圆的离心率为 16 三棱柱 111 CBAABC 中 ACBCAB 侧棱 1 AA底面ABC 且三棱柱的侧面积 为36 若该三棱柱的顶点都在球O的球面上 则球O体积的最小值为 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 题 第 21 题为必 考题 每个试题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考
6、生根据要求作答 一 必考题 共 60 分 17 12 分 在各项均为正数的等比数列 n a中 已知 1 2a 246 82aaa 1 求数列 n a的通项公式 2 设2 nn ban 求数列 n b的前 n 项和 n T 18 12 分 已知ABC 的内角 A B C的对边分别为 a b c 且sin3 cosaBbA 1 求A 2 若13a ABC 的面积为3 3 求ABC 的周长 19 12 分 如图 1 在等腰梯形ABCD中 ABCD 1 2 2 ABBCADCD P为CD 中点 以AP为折痕将ADP 折起 使点D到达点S的位置 如图 2 1 求证 SBAP 2 若6SB 求点C到平面S
7、PB的距离 高三文科数学试题 第 4 页 共 4 页 20 12 分 已知动圆C与圆 1 C 22 2 1xy 外切 又与直线l 1x 相切 设动圆C的圆 心的轨迹为曲线E 1 求曲线E的方程 2 在x轴上求一点P 不与原点重合 使得点P关于直线xy 2 1 的对称点在曲线E上 21 12 分 已知函数 xaaxxxf12 2 1 ln2 2 a R 1 讨论 xf的单调性 2 当0 a时 证明 5 4 2 f x a 二 选考题 本题满分 10 分 请考生在 22 23 两题中任选一题作答 如果多做 则按 所做第一题计分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 在平面直角坐标系xOy
8、中 以O为极点 x轴正半轴为极轴建立极坐标系 已知直线l的 参数方程为 1 2 3 2 xt t yt 为参数 曲线C的极坐标方程为2cos3 1 求C的直角坐标方程 2 求l被C截得的线段长 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 已知正数x y z满足 222 4xyz 1 证明 2 2xy 2 若 11 2 xy 求z的最大值 高三文科数学答案 第 1 页 共 6 页 高三文科数学参考答案和评分细则 评分说明 评分说明 1 本解答给出了一种或几种解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据试题的主要 考查内容比照评分标准制定相应的评分细则 2 对计算题 当考生的解答在某一步出现错误时
9、 如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度 可视影响的程度决定后继部分的给分 但不得超过该部分正确解答应给分数的一半 如果后继部分的解答有较严重的错误 就不再给分 3 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4 只给整数分数 选择题和填空题不给中间分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1 12 2 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分 分 题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案答案 B B A A D D D D C C A A A A B B C C C C B B B B 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题
10、共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分 分 13 10 xy 14 3 10 10 15 1 2 16 8 2 3 三 解答题 共三 解答题 共 7070 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 解 1 设 n a的公比为q 因为 246 82aaa 所以 35 111 82a qa qa q 分 所以 24 82qq 即 42 280qq 分 解得 2 4q 又因为0q 所以2q 4 分 因为 1 2a 所以2 n n an N 6 分 2 由 1 知22 n n bn 7 分 则 123 22 24 2
11、6 22 n n Tn 123 2222 2462 n n 9分 22 2 21 2 n nn 11 分 12 22 n nn 所以数列 n b的前n项和为 12 22 n n Tnn 12 分 高三文科数学答案 第 2 页 共 6 页 18 解法一 解法一 1 因为AbBacos3sin 由正弦定理R B b A a 2 sinsin 1 分 得ABBAcossin3sinsin 2 分 又sin0B 所以AAcos3sin 3 分 所以3tan A 4 分 因为 0 A 所以 3 A 5 分 2 在 ABC中 3 13 Aa33 ABC S 由33sin 2 1 AbcS ABC 6 分
12、得12 bc 7 分 由余弦定理 222 cos2aAbccb 8 分 得13 22 bccb 9 分 所以 133 2 bccb 49 2 cb即 10 分 所以7 cb 11 分 所以 ABC的周长为 137 12 分 解法二 解法二 1 因为AbBacos3sin 由正弦定理R B b A a 2 sinsin 1 分 得ABBAcossin3sinsin 2 分 又sin0B 所以AAcos3sin 3 分 所以0 3 sin2 A 4 分 又 0 A 所以 3 A 5 分 2 在ABC 中 3 13 Aa33 ABC S 由33sin 2 1 AbcS ABC 6 分 得12 bc
13、7 分 高三文科数学答案 第 3 页 共 6 页 由余弦定理 222 cos2aAbccb 8 分 得13 22 bccb 9 分 所以25 22 cb 10 分 由 得 4 3 c b 或 3 4 c b 11 分 所以ABC 的周长为137 12 分 19 解 1 在图 1 中 因为 AB CD 1 2 2 ABBCADCD P为CD中点 所以四边形ABCP是菱形 且DAP 是等边三角形 即图 2 中SAP 是等边三角形 连结BP 则BPABAP 即BAP 是等边三角形 3 分 设AP中点为E 连结EB ES 则APES APEB 4 分 又因为ESEBE 所以AP 平面SEB 5 分 因
14、为SB 平面SEB 所以SBAP 6 分 2 由 1 得3 BESE 又6 SB 所以 222 SEBESB 所以SEBE 又SEAP APBEE 所以SE 平面ABCP 即SE为三棱锥PBCS 的高 8 分 设点C到平面SPB的距离为d 在SPB 中 2 PBSP 6 SB 所以 11015 6 222 SPB S 9 分 由 PBCSSPBC VV 有 34 4 3 3 1 2 15 3 1 d 所以 2 15 5 d 即点C到平面SPB的距离为 5 152 12 分 20 解法一 解法一 1 依题意得圆心C到直线2x 的距离等于到圆 1 C圆心的距离 所以C的轨迹是以 2 0 为焦点 以
15、直线2x 为准线的抛物线 2 分 设其方程为 2 2 0 ypx p 则2 2 p 4p 4 分 高三文科数学答案 第 4 页 共 6 页 所以曲线E的方程为 2 8yx 6 分 2 设 0 P t P关于直线 1 2 yx 的对称点为 1 P m n 7 分 则 2 1 222 n mt nmt 即 22 2 mnt nmt 9 分 解得 3 5 4 5 mt nt 10 分 代入曲线E得tt 5 24 25 16 2 11 分 解得0 t 舍去 2 15 t 即点P的坐标为 15 0 2 12 分 解法二 解法二 设圆心 C x y 依题意1x 因为圆C与直线1 xl相切 所以1rx 1
16、分 又圆C与圆 1 C外切 所以 1 1CCr 3 分 即 22 22xyx 4 分 化简得曲线E的方程为xy8 2 6 分 2 同解法一 12 分 21 解法一解法一 1 因为 xaaxxxf12 2 1 ln2 2 定义域为 0 所以 2 21fxaxa x 2 21221axaxxax xx 2 分 当0 a时 0fx xf在 0 上单调递增 当0 a时 1 0 x a 时 0fx xf单调递增 1 x a 时 0fx xf单调递减 5 分 综上所述 当0 a时 xf在 0 上单调递增 当0 a时 xf在 1 0 a 上单调递增 在 1 a 上单调递减 6 分 2 由 1 可知 当0 a时 xf在 1 0 a 上单调递增 在 1 a 上单调递减 高三文科数学答案 第 5 页 共 6 页 所以 2 2 11 ln2 1 max aaa fxf 7 分 要证 4 2 5 a xf 只要证4 2 5 2 2 11 ln2 aaa 即证01 11 ln aa 8 分 令 a t 1 即证01ln tt在0 t上成立 令 1ln tttg 即证 0 tg 9 分 因为 1 1g t t 所
