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1、金山中学2018学年第二学期高一年级数学学科期末考试、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分。1.在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为_ 【答案】2【解析】试题分析：由题意可得：考点：扇形的面积公式2.在数列中，则_.【答案】18【解析】【分析】直接利用等比数列的通项公式得答案【详解】解：在等比数列中，由，公比，得故答案为：18【点睛】本题考查等比数列的通项公式，是基础题3.已知角的终边上一点P的坐标为，则_.【答案】【解析】【分析】由已知先求，再由三角函数的
2、定义可得即可得解【详解】解：由题意可得点到原点的距离，由三角函数的定义可得，此时；故答案为：【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题4.在ABC 中，若，则ABC的形状是 _.【答案】钝角三角形【解析】【分析】由，结合正弦定理可得，由余弦定理可得可判断的取值范围【详解】解：，由正弦定理可得，由余弦定理可得是钝角三角形故答案为：钝角三角形【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用在三角形的形状判断中的应用，属于基础题5.若，其中是第二象限角，则_.【答案】【解析】分析】首先要用诱导公式得到角的正弦值，根据角是第二象限的角得到角的余弦值，再用诱导公式即可得到结果【详解】解：，
3、又是第二象限角故，故答案为：【点睛】本题考查同角的三角函数的关系，本题解题的关键是诱导公式的应用，熟练应用诱导公式是解决三角函数问题的必备技能，属于基础题6.设,则的值是_.【答案】【解析】【分析】根据二倍角公式得出，再根据诱导公式即可得解。【详解】解：由题意知：故，即。故答案为.【点睛】本题考查了二倍角公式和诱导公式的应用，属于基础题。7.已知是等差数列，是它的前项和，且，则_.【答案】【解析】【分析】根据等差数列的性质得，由此得解.【详解】解：由题意可知，；同理。故 .故答案为：【点睛】本题考查了等差数列的性质，属于基础题.8.函数在内的单调递增区间为 _.【答案】【解析】【分析】将函数进
4、行化简为，求出其单调增区间再结合，可得结论.【详解】解：，递增区间：，可得，在范围内单调递增区间为。故答案为：.【点睛】本题考查了正弦函数的单调区间，属于基础题。9.数列中，若，则_；【答案】【解析】【分析】先分组求和得，再根据极限定义得结果.【详解】因为，所以则.【点睛】本题考查分组求和法、等比数列求和、以及数列极限，考查基本求解能力.10.数列的前项和为，已知，且对任意正整数，都有，若恒成立，则实数的最小值为_.【答案】【解析】令，可得是首项为，公比为的等比数列，所以，实数的最小值为，故答案为.11.数列的前项和为，若，则的前2019项和_.【答案】1009【解析】【分析】根据周期性，对2
5、019项进行分类计算，可得结果。【详解】解：根据题意，的值以为循环周期， =1009故答案为：1009.【点睛】本题考查了周期性在数列中的应用，属于中档题。12.已知数列满足，若数列单调递增，数列单调递减，数列的通项公式为_.【答案】【解析】【分析】分别求出、的通项公式，再统一形式即可得解。【详解】解：根据题意，又单调递减， 单调递减增 +,得，故 代入，有成立， 又 +，得， 故 代入，成立。，综上，【点睛】本题考查了等比数列性质的灵活运用，考查了分类思想和运算能力，属于难题。二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂
6、黑，选对得5分，否则一律得零分。13.用数学归纳法证明：“”，在验证成立时，左边计算所得结果是（ ）A. 1B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据，给等式左边赋值，由此得出正确选项.【详解】当时，左边为，故选C.【点睛】本小题主要考查数学归纳法的理解，考查阅读与理解能力，属于基础题.14.设函数的图象分别向左平移m(m0)个单位，向右平移n(n0个单位，所得到的两个图象都与函数的图象重合的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出函数的图象分别向左平移个单位，向右平移个单位后的函数解析式，再根据其图象与函数的图象重合，可分别得关于，的方程，解之即可【详解】解
7、：将函数的图象向左平移个单位，得函数，其图象与的图象重合，故，当时，取得最小值为将函数的图象向右平移个单位，得到函数，其图象与的图象重合，故，当时，取得最小值为，的最小值为，故答案为：【点睛】本题主要考查诱导公式，函数的图象变换规律，属于基础题15.已知函数,若存在，且，使成立，则以下对实数的推述正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据的图象性质，推得函数的单调区间，再依据条件分析求解【详解】解：是把的图象中轴下方的部分对称到轴上方，函数在上递减；在上递增 函数的图象可由的图象向右平移1个单位而得，在，上递减，在，上递增，若存在，使成立，故选：【点睛】本题考查单调
8、函数的性质、反正切函数的图象性质及函数的图象的平移图象可由的图象向左、向右平移个单位得到，属于基础题.16.已知数列是各项均为正数且公比不等于等比数列.对于函数，若数列为等差数列，则称函数为“保比差数列函数”.现有定义在上的如下函数：； ； ；，则为“保比差数列函数”的所有序号为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】，为“保比差数列函数” ；，为“保比差数列函数” ；不是定值，不是“保比差数列函数” ；，是“保比差数列函数”，故选C.考点：等差数列的判定及对数运算公式点评：数列，若有是定值常数，则是等差数列三、解答题(本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸
9、相应编号的规定区域内写出必要的步骤。17.已知等差数列中，（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先设等差数列的公差为，根据题中条件求出公差，即可得出通项公式；（2）根据前项和公式，即可求出结果.【详解】（1）依题意，设等差数列的公差为，因为，所以，又，所以公差，所以（2）由（1）知，所以【点睛】本题主要考查等差数列，熟记等差数列通项公式与前项和公式即可，属于基础题型.18.已知函数.(1)求函数的最小正周期及单调递增区间：(2)求函数在区间上的最大值及取最大值时的集合.【答案】（1）, 单调递增区间为；（2）最大值为, 取最大值时，的集合为.【解
10、析】【分析】（1）对进行化简转换为正弦函数，可得其最小正周期和递增区间；（2）根据（1）的结果，可得正弦函数的最大值和此时的的集合.【详解】解：（1）.增区间为：即单调递增区间为（2）当时，的最大值为，此时，取最大值时，的集合为.【点睛】本题考查二倍角公式和辅助角公式以及正弦函数的性质，属于基础题.19.已知数列的首项.(1)求证：数列为等比数列；(2)记，若，求最大正整数.【答案】（1）详见解析；（2）99.【解析】【分析】（1）利用数列递推公式取倒数，变形可得，从而可证数列为等比数列；（2）确定数列的通项，利用等比数列的求和公式求和，即可求最大的正整数【详解】解（1），数列等比数列.（2）
11、由（1）可求得，.因为在上单调递增，又因为，【点睛】本题考查数列递推公式，考查等比数列的证明，考查等比数列的求和公式，属于中档题20.设等比数列的首项为，公比为q(q为正整数),且满足是与的等差中项；数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)试确定的值，使得数列为等差数列：(3)当为等差数列时，对每个正整数是，在与之间插入个2,得到一个新数列，设是数列的前项和，试求满足的所有正整数.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由已知可求出的值，从而可求数列的通项公式；（2）由已知可求，从而可依次写出，若数列为等差数列，则有，从而可确定的值；（3）因为，检验知，3，4不合题意，适合题意当
12、时，若后添入的数则一定不适合题意，从而必定是数列中的某一项，设则误解，即有都不合题意故满足题意的正整数只有【详解】解（1）因为，所以，解得或（舍），则又，所以（2）由，得，所以，则由，得而当时，由（常数）知此时数列为等差数列（3）因为，易知不合题意，适合题意当时，若后添入的数，则一定不适合题意，从而必是数列中的某一项，则.整理得，等式左边为偶数，等式右边为奇数，所以无解。综上：符合题意的正整数.【点睛】本题主要考察了等差数列与等比数列的综合应用，考察了函数单调性的证明，属于中档题21.已知函数的值域为A，.(1)当的为偶函数时，求的值；(2) 当时, 在A上是单调递增函数，求的取值范围； (3
13、)当时，（其中)，若，且函数的图象关于点对称，在处取 得最小值，试探讨应该满足的条件.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由函数为偶函数，可得，故，由此可得 的值（2）化简函数，求出，化简，由题意可知：，由此可得的取值范围（3）由条件得，再由，可得由的图象关于点，对称求得，可得再由的图象关于直线成轴对称，所以，可得，由此求得 满足的条件【详解】解：（1）因为函数为偶函数，所以，得对恒成立，即，所以.（2），即 ，由题意可知：得，.（3） 又，不妨设，则，其中，由函数的图像关于点对称，在处取得最小值得，即，故.【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性，单调性和对称性的综合应用，属于中档题
