《北京市海淀区2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京市海淀区2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含解析（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、首师附高二上学期期中数学试卷一、选择题1.抛物线的焦点是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先判断焦点的位置，再从标准型中找出即得焦点坐标.【详解】焦点在轴上，又，故焦点坐标为，故选D.【点睛】求圆锥曲线焦点坐标，首先要把圆锥曲线的方程整理为标准方程，从而得到焦点的位置和焦点的坐标.2.“”是“直线与直线垂直”的（ ）A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】当直线与直线垂直时，即，“”是“直线与直线垂直”的既不充分也不必要条件3.若双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，且，则等于( )A. 11B. 9C. 5
2、D. 3【答案】B【解析】【分析】由双曲线定义可构造方程求得结果.【详解】由双曲线定义可知：又 故选：【点睛】本题考查双曲线定义的应用，属于基础题.4.直线被圆(为参数)截得的弦长为( )A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】将圆的参数方程化为普通方程，可确定圆心和半径；利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离；根据垂径定理求得弦长.【详解】由圆的参数方程可得圆的普通方程为：圆是以为圆心，为半径的圆圆心到直线距离 弦长为故选：【点睛】本题考查直线被圆截得的弦长问题的求解，涉及到参数方程化普通方程、点到直线距离公式和垂径定理的应用，属于常考题型.5.如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的
3、右焦点，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将代入椭圆方程求得，可表示出，由垂直关系可知，从而构造出关于的齐次方程，由求得结果.【详解】将代入椭圆方程得：，又椭圆焦点 ， 故选：【点睛】本题考查椭圆离心率的求解问题，关键是能够利用垂直关系构造出关于的齐次方程，从而根据求得离心率.6.设，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题中正确的为（）A. 若mn，n，则mB. 若m，n，则mnC. 若，m，则mD. 若m，m，则【答案】D【解析】分析】在A中，m与相交、平行或m；在B中，m与n平行或异面；在C中，m与相交、平行或m
4、；在D中，由面面垂直的判定定理得【详解】由，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，得：在A中，若mn，n，则m与相交、平行或m，故A错误；在B中，若m，n，则m与n平行或异面，故B错误；在C中，若，m，则m与相交、平行或m，故C错误；在D中，若m，m，则由面面垂直的判定定理得，故D正确故选：D【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题7.已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为（ ）A 4B. 8C. 16D. 32【答案】B【解析】【详解】F（2，0）,K（-2，0），过A作AM准线
5、，则|AM|=|AF|，|AK|=|AM|，三角形APM为等腰直角三角形，设A（m2，2m）（m0）,由得，解得则AFK的面积=42m=4m=8, 故选：B.【此处有视频，请去附件查看】8.已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A. B. C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理，正弦定理即可得到结论【详解】法1：设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，半焦距为，则，设，且，椭圆离心率为，双曲线离心率为，在中，由余弦定理得：，由椭圆和双曲线定义可得：，令，当时， ，即由双曲线的对称性可知，当
6、时，结论一致，的最大值为.法2：设|PF1|m，|PF2|n，设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，半焦距为，则，则a1+a2m，则，由正弦定理得，即sin（120）.故选：A【点睛】本题考查椭圆和双曲线离心率的求解问题，涉及到椭圆和双曲线定义、余弦，正弦定理的应用、函数最值的求解等知识，属于中档题.二、填空题9.已知直线的参数方程为为参数，则直线的倾斜角为_【答案】【解析】【分析】先消去参数，化为普通方程，然后求解斜率，可得倾斜角.【详解】因为，所以，两式相除可得，斜率为，故倾斜角为.【点睛】本题主要考查直线的参数方程，掌握常用消参的方法是求解的关键.10.若圆与圆相切，则实数_.【答案】或9
7、.【解析】分析：首先将圆C的方程化为标准方程，根据两圆相切，得到两圆心之间的距离要么等于两半径和，要么等于两半径差，得出相应的等量关系式，从而求得相应的结果.详解：圆C：可化为，因为与圆C相切，所以或，所以或，故答案是或点睛：该题考查的是有关两圆的位置关系的问题，根据两圆相切，得到两圆内切或外切，从而得到两圆心之间的距离所满足的关系式，从而求得结果，在解题的过程中，需要注意相切应分为外切和内切两种情况.11.若方程表示的是焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据椭圆标准方程的形式和焦点位置可构造不等式求得结果.【详解】由题意得：，解得： 的取值范围为故答案为：【点睛】本
8、题考查根据椭圆焦点所在轴求解参数范围的问题，属于基础题.12.直线与双曲线相交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是_.【答案】【解析】分析】由中点坐标公式可知，；利用点差法可求得直线斜率，进而得到直线方程.【详解】设，为中点 ，由两式作差可得：直线斜率直线方程为：，即故答案为：【点睛】本题考查根据弦中点求解直线方程的问题，关键是能够熟练应用点差法，将直线的斜率与中点坐标之间的关系表示出来，从而求得直线斜率.13.已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程是_.【答案】【解析】【分析】由圆方程得到圆心和半径，根据两圆关于直线对称可知圆心关于直线对称，半径相同；由点关于直线对称点的求解方法构造
9、方程求得圆的圆心，进而得到圆的标准方程.【详解】由圆的方程可知圆的圆心为，半径为设圆的圆心为 与关于直线对称，解得： 圆的圆心为，半径为圆的标准方程为：故答案为：【点睛】本题考查圆关于直线的对称圆的求解，关键是明确两圆关于直线对称则圆心关于直线对称，半径相同，进而利用点关于直线对称点的求解方法求得对称圆的圆心.14.已知椭圆：的两个焦点分别为和，短轴的两个端点分别为和，点在椭圆上，且满足，当变化时，给出下列三个命题：点的轨迹关于轴对称；的最小值为2；存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个，其中，所有正确命题的序号是_【答案】【解析】分析：运用椭圆的定义可得也在椭圆上，分别画出两个椭圆的图形，即可判
10、断正确；由图象可得当的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，的值取得最小，即可判断正确；通过的变化，可得不正确.详解：椭圆的两个焦点分别为和，短轴的两个端点分别为和，设，点在椭圆上，且满足，由椭圆定义可得，即有在椭圆上，对于，将换为方程不变，则点的轨迹关于轴对称，故正确.；对于，由图象可得，当满足，即有，即时，取得最小值，可得时，即有取得最小值为，故正确；对于，由图象可得轨迹关于轴对称，且，则椭圆上满足条件的点有个，不存在使得椭圆上满足条件的点有个，故不正确.，故答案为.点睛：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的定义以及椭圆的简单性质，属于难题. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出
11、图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、离心率等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.三、解答题15.已知动点与平面上点，的距离之和等于.(1)试求动点轨迹方程.(2)设直线与曲线交于、两点，当时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由椭圆定义可知所求轨迹为，的椭圆，进而求得，从而得到所求轨迹；（2）将直线方程代入椭圆方程，得到韦达定理的形式；由弦长公式可构造方程求得，进而得到结果.【详解】（1）由椭圆定义可知点轨迹是以为焦点的椭圆，且， 动点的轨迹方程为：（2）将直线代入椭圆方程得：则 设， ，解得：直线的方程为：【点睛】本题
12、考查轨迹方程的求解、弦长公式的应用；关键是能够熟练掌握椭圆的定义，进而得到动点所满足的方程，属于基础题.16.如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，且，.(1)若点为上一点且，证明：平面.(2)求二面角的大小.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）作，根据比例关系可知，从而可证得四边形为平行四边形，进而得到，由线面平行判定定理可证得结论；（2）根据垂直关系可以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）作交于，连接 又且 且四边形为平行四边形 平面，平面 平面（2）平面，平面 又， 则可以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系则，设平面法向量则，令，
13、则， 设平面的法向量则，令，则， 二面角为锐二面角 二面角的大小为【点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；关键是能够熟练掌握空间向量法求解立体几何中的角度问题的方法；需注意的是，法向量的夹角可能为二面角，也可能为二面角的补角.17.在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与圆相切，与椭圆相交于两点，求证：是定值.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用离心率可得，进而得到；将点代入椭圆方程可求得，从而得到椭圆方程；（2）当直线斜率不存在时，可求得坐标，从而得到，得到；当直线斜率存在时，设直线方程为，由直线与圆相切
14、可得到；将直线方程与椭圆方程联立可得到韦达定理的形式，从而表示出，整理可得，得到；综合两种情况可得到结论.【详解】（1）由题意得：，即 椭圆方程为将代入椭圆方程得： 椭圆的方程为：（2）当直线斜率不存在时，方程为：或当时，此时 当时，同理可得当直线斜率存在时，设方程为：，即直线与圆相切 ，即联立得：设， ，代入整理可得： 综上所述：为定值【点睛】本题考查根据椭圆上的点求解椭圆方程、直线与椭圆综合应用中的定值问题的求解；求解定值问题的关键是能够将所求量表示为韦达定理的形式，进而通过整理化简，消去变量得到常数，从而得到结果.18.设、分别为椭圆的左右顶点，设点为直线上不同于点的任意一点，若直线、分别与椭圆相交
