2020届天津市南开区高三上学期期末考试数学试题

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1、天津市南开区20192020学年度高三年级上学期期末考试数学试卷一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1设全集U1,2,3,4,集合S1,2,T2,3,则(US)T等于()A2B3C4D2,3,42命题“x0(0,+),ln x0x01”的否定是()Ax(0,+),ln xx1Bx(0,+),ln xx1Cx0(0,+),ln x0x01Dx0(0,+),ln x0x013下列函数中是偶函数,且在(0,+)上单调递增的是()Ayx3Bylgx2Cy2xDy4已知等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,则“d0”是“S3+S52S4”的()A充分不必要条件B必要不充分条

2、件C充分必要条件D既不充分又不必要条件5设a120.2,b1og3,clg4,则a,b,c的大小关系是()AacbBbcaCcabDcba6过点A(1,0),斜率为k的直线,被圆(x1)2+y24截得的弦长为2,则k的值为()ABCD7函数ysincos(0x9)的最大值与最小值之和为()A1B1C0D28已知点A(2,0),抛物线C:x24y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|:|MN|()A2:B1:2C1:D1:39四边形ABCD中,BC1,AC2,ABC90,ADC90,则的取值范围是()A1,3B(3,1)C3,1D二、填空题:本大题共6个小题,每

3、小题5分,共30分。10复数的共轭复数是 11曲线y在点(1,1)处的切线方程为 12四棱锥PABCD的底面ABCD是正方形,PA平面ABCD,各顶点都在同一球面上,若该棱锥的体积为4,AB2,则此球的表面积等于 13设双曲线C经过点(2,2),且与x21具有相同渐近线,则C的方程为 ;渐近线方程为 14已知正数x,y满足3,则当x 时,x+y的最小值是 15对于实数a和b,定义运算“*”:a*b,设f(x)(2x1)*(x1),若函数g(x)f(x)mx2(mR)恰有三个零点x1,x2,x3,则m的取值范围是 ;x1x2x3的取值范围是 三、解答题:本大题共5题,共75分。解答应写出文字说明

4、,证明过程或演算步骤。16在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且bc1,cosA,ABC的面积为2()求a及sinC的值;()求cos(2A)的值17如图,已知直三棱柱ABCA1B1C1的底面是直角三角形,ACB90,AA1AB2BC2,3()求证:AB1平面A1BD;()求二面角ABDA1的余弦值;()求点B1到平面A1BD的距离18(15分)已知椭圆C的一个顶点为A(0,1),焦点在x轴上,若右焦点到直线xy+20的距离为3()求椭圆C的方程;()设椭圆C与直线ykx+m相交于不同的两点M,N,线段MN的中点为E(i)当k0,m0时,射线OE交直线x3于点D(3,n)(O为坐

5、标原点),求k2+n2的最小值;(i)当k0,且|AM|AN|时,求m的取值范围19已知数列an是等比数列,数列bn是等差数列,且a13,b2a2,b5a3+3,b8a4()求数列an的通项公式an;()令cnlog2,证明:1(nN*,n2);()求(nN*)20已知函数f(x)lnxax(aR)()讨论f(x)的单调性;()若f(x)x2对x(0,+)恒成立,求实数a的取值范围;()当a1时,设g(x)xef(x)x1(e为自然对数的底)若正实数1,2满足1+21,x1,x2(0,+)(x1x2),证明:g(1x1+2x2)1g(x1)+2g(x2)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只

6、有一项是符合题目要求的。1B2A3A4C5A6A7D8C9C二、填空题:本大题共6个小题,每小题5分,共30分。10i11 x+y2012 2413 ,y2x14,915 (0,)和()三、解答题:本大题共5题,共75分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。16()在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且bc1,cosA,sinA,ABC的面积为bcsinAbc2,bc6,b3,c2,a3再根据正弦定理可得 ,即,sinC()sin2A2sinAcosA,cos2A2cos2A1,故 cos(2A)cos2Acossin2Asin17依题意,以C为原点,CB为x轴,CC1为y轴

7、,CA为z轴,建立空间直角坐标系,则,3,()证明:,设平面A1BD的一个法向量为,则,令,则,即,AB1平面A1BD;(),设平面ABD的一个法向量为,则,令,则,又平面A1BD的一个法向量为,即二面角ABDA1的余弦值为;()设点B1到平面A1BD的距离为d,则易知,而,点B1到平面A1BD的距离为18解(),设椭圆的右焦点(c,0),c0,由题意得:b1,3,a2b2+c2,解得:a23,b21,所以椭圆的方程:;()i)设M(x,y),N(x,y),将直线与椭圆联立整理得:(1+3k2)x2+6kmx+3m230,36k2m24(1+3k2)(3m23)0,即m21+3k2,且x+x,

8、y+yk(x+x)+2m,所以MN的中点E(,),所以射线OE:yx,与直线x3的交点(3,),所以n,所以n2+k2k22,当且仅当k21,k0,所以k1时n2+k2有最小值2ii)当k0,且|AM|AN|时,则AEMN,所以kAE,即,2m1+3k2,2mm2,解得0m2,所以m取值范围(0,2)19()设数列an是公比为q的等比数列,数列bn是公差为d的等差数列,由a13,b2a2,b5a3+3,b8a4,可得b1+d3q,b1+4d3q2+3,b1+7d3q3,解得q2,d3,b13,则an32n1,bn3+3(n1)3n;()证明:cnlog2log22n1n1,111;()由,可设

9、Tn,Tn,相减可得Tn2,化简可得20()函数的定义域为x|x0,当a0时,f(x)0,函数f(x)在(0,+)上单调递增;当a0时,令f(x)0解得,令f(x)0解得,故此时函数f(x)在上单调递增,在上单调递减;()f(x)x2对x(0,+)恒成立,即为对任意的x(0,+),都有,设,则,令G(x)1lnxx2(x0),则,G(x)在(0,+)上单调递减,且G(1)0,当x(0,1)时,G(x)0,F(x)0,F(x)单调递增;当x(1,+),G(x)0,F(x)0,F(x)单调递减,F(x)maxF(1)1,实数a的取值范围为1,+)()证明:当a1时,g(x)xe(lnxx)x1xe

10、xlnxx1exx1,g(x)ex10(x0),不妨设0x1x2,下先证:存在(x1,x2),使得g(x2)g(x1)g()(x2x1),构造函数,显然H(x1)H(x2),且,则由导数的几何意义可知,存在(x1,x2),使得,即存在(x1,x2),使得g(x2)g(x1)g()(x2x1),又g(x)ex1为增函数,g(x2)g(x1)g()(x2x1)g(x1)(x2x1),即g(x2)g(x1)+g(x1)(x2x1),设x31x1+2x2(1+20),则x1x3(11)x12x2,x2x3(12)x21x1,g(x1)g(x3)+g(x3)(x1x3)g(x3)+g(x3)(11)x12x2,g(x2)g(x3)+g(x3)(x2x3)g(x3)+g(x3)(12)x21x1,由1+2得,1g(x1)+2g(x2)g(x3)g(1x1+2x2),即g(1x1+2x2)1g(x1)+2g(x2)7第页

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