《2020届高三月考试题（四）数学（文）试题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届高三月考试题（四）数学（文）试题（解析版）（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2020届湖南省长沙市一中高三月考试题（四）数学（文）试题一、单选题1复数在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】D【解析】把复数的分母部分进行实数化即可，化简后即可得到对应点，进而得到答案.【详解】，在复平面内对应的点为，复数在复平面内对应的点位于第四象限答案选D.【点睛】本题考查复数的化简，属于简单题.2设为非零向量，则“”是“方向相同”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据向量的共线的充要条件，即可作出判定，得到答案【详解】因为为非零向量，所以时，方向相同或相反，因此“”是“方向相同”的必要而不
2、充分条件.故选B【点睛】本题主要考查了充要条件和必要条件的判断，以及向量共线的充要条件，属基础题.其中解答中熟记利用向量共线的充要条件是解答的关键，着重考查了推理与判断能力3若集合，则实数的值为（）AB2CD1【答案】A【解析】根据指数函数与对数函数的性质，利用集合相等的性质列方程求解即可【详解】由，解得；由解得， 因为，所以，解得故选A【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的性质与应用以及集合相等的性质，意在考查灵活运用所学知识解答问题的能力，是基础题4已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则三个数，的大小关系为ABCD【答案】C【解析】根据奇偶性得：，通过临界值的方式可判断出自变量之间
3、的大小关系，再利用函数的单调性得到的大小关系.【详解】；，即：为偶函数 又在上单调递增，即本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数单调性判断大小的问题，关键是能够利用奇偶性将自变量变到同一单调区间内，再通过指数、对数函数的单调性，利用临界值确定自变量的大小关系.5在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中有误的是（ ）A成绩在分的考生人数最多B不及格的考生人数为1000人C考生竞赛成绩的平均分约70.5分D考生竞赛成绩的中位数为75分【答案】D【解析】根据频率分布直方图中数据，逐项判断即可得出结果.【详解】A
4、选项，由频率分布直方图可得，成绩在的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；B选项，由频率分布直方图可得，成绩在的频率为，因此，不及格的人数为，即B正确；C选项，由频率分布直方图可得：平均分等于，即C正确；D选项，因为成绩在的频率为，由的频率为，所以中位数为，故D错误.故选D【点睛】本题主要考查频率分布直方图，会分析频率分布直方图即可，属于常考题型.6在矩形中，,若点，分别是，的中点，则（ ）A4B3C2D1【答案】C【解析】本题可以以，两个向量作为基底向量用来表示所要求的，然后根据向量的性质来运算，从而得出结果【详解】由题意作出图形，如图所示：由图及题意，可得：，.故选C【点睛】本题主要考查基
5、底向量的设立，以及向量数量积的运算，属基础题7已知椭圆（ab0）与双曲线（a0，b0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（）ABCD【答案】A【解析】由题意可得，即，代入双曲线的渐近线方程可得答案.【详解】依题意椭圆与双曲线即的焦点相同，可得：，即，可得,双曲线的渐近线方程为：,故选：A【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题8已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（ ）ABCD【答案】B【解析】先由角的终边过点，求出，再由二倍角公式，即可得出结果.【详解】因为角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，所以，
6、因此.故选B【点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于常考题型.9若函数的大致图象如图所示，则的解析式可以是ABCD【答案】C【解析】根据图象的对称性，单调性，特殊的函数值，等利用排除法可得【详解】当x0时，f（x），排除A，B（A中的f（x）0）；当x0时f（x）0，而选项B中x0时，f（x）0，选项D中f（x）0，排除B，D；故选C【点睛】本题考查了函数的单调性、符号，极限等，考查数形结合思想利用特殊点，特殊的取值是快速解决这类问题的关键本题是一道中档题10已知点是椭圆上非顶点的动点，分别是椭圆的左、右焦点，是坐标原点，若是的平分线上一点，
7、且，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】采用数形结合，通过延长结合角平分线以及，利用中位线定理以及椭圆的定义，得到，然后根据的范围，可得结果.【详解】如图，延长交的延长线于点，.又为的平分线，且为的中点.为的中点，.，且，.故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的应用，属中档题.11已知球的半径为4，矩形的顶点都在球的球面上，球心到平面的距离为2，设球内的一个质点落在四棱锥内的概率为，则的最大值为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据勾股定理，可以得到矩形两边长的平方和，利用常用的不等式，可得出面积的最大值，结合几何概型，可得是四棱锥的体积与球的体积之比，可得结果.【详解】设矩形的两邻边为，
8、由题易知，当且仅当时，取等号.即矩形面积的最大值为24.由几何概型知识知当四棱锥体积最大时，取最大值，故.故选：C【点睛】本题主要考查几何概型的应用，同时还考查了常用的不等式，注意取等号的条件，属基础题.12已知函数，对于任意实数，当时，记的最大值为.若，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】先计算，利用数形结合，画出图像，根据新定义，结合分类讨论的方法，可得结果.【详解】由题意得：，又，可得的图象如图所示，区间长度为2，当时，所以；当时，所以，的取值范围为：.故选：A【点睛】本题主要考查对新概念的理解，以及利用数形结合解决分段函数的问题，属中档题.二、填空题13学校为了解1000名高
9、一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从11000进行编号，则编号落入区间的人数为_.【答案】10【解析】按系统抽样的方法，得到抽样距，可得具体在哪一组，简单计算，可得结果.【详解】从1000名学生中抽取一个容量为40的样本，系统抽样分40组，每组个号码，每组抽取一个，从501到750恰好是第21组到第30组，共抽取10人.故选答案为：10【点睛】本题主要考查系统抽样的应用，属基础题.14已知实数，满足，则的最大值是_【答案】【解析】画出可行域，利用z的几何意义求解即可【详解】由约束条件可知可行域为图中阴影部分所示：其中，又，可知的几何意义为可行域中的
10、点到直线距离的倍可行域中点到直线距离最大的点为.，故答案为.【点睛】本题考查利用线性规划求解最值的问题，关键是能够明确目标函数所表示的几何意义，利用数形结合来进行求解15在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_【答案】【解析】试题分析：因为直线恒过定点，所以圆心到直线的最大距离为，所以半径最大时的半径，所以半径最大的圆的标准方程为【考点】1、圆的方程；2、直线与圆的位置关系【方法点睛】解决直线与圆的问题时，一方面，注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得
11、非常紧密，因此准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决，即注意圆的几何性质的运用16在直线上任取一点，过作抛物线的切线，切点分别为、，则直线恒过定点_.【答案】【解析】假设，利用导数，分别求出抛物线在这两点的切线方程，根据两方程都过点，通过观察发现，可得结果.【详解】设，抛物线方程变为，则，则在点处的切线方程为，化简得，同理，在点处的切线方程为.又点的坐标满足这两个方程，代入得：，则说明，都满足方程，即直线的方程为：，故直线恒过定点.故答案为：【点睛】本题主要考查抛物线与直线的综合应用，以及过定点问题，属中档题.三、解答题17的内角、所对的边分别为
12、、.已知，且.（1）求角的大小；（2）若，角的平分线交于，且，求.【答案】（1）（2）【解析】（1）在三角形中，可得到，结合两角和的余弦公式，化简，可得结果.（2）在中，利用正弦定理，可得到，然后结合角平分线知识，可得，利用余弦定理，可得结果.【详解】（1）由，得，因为，则，故，.则.（2）在中，由正弦定理得：，则，又，故，则，由余弦定理，即.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，解决三角形中的问题，要联想到正弦定理、余弦定理以及面积公式，通常也会和三角函数结合，以及不等式，属中档题.18已知等差数列的前5项和为50，数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，求.【答案
13、】（1）（2）【解析】（1）根据等差数列的通项公式以及前项和公式，可得公差，利用公式，可得结果.（2）根据（1）的结论，通过计算，与原式联立，可得，然后利用公式法，可得结果.【详解】（1）设等差数列的公差为，依题意得，所以故，即.（2）由，当时，时，得：.故所以【点睛】本题考查求等差数列的通项公式以及等比数列求和，属基础题.19如图，已知三棱柱中，底面，.，分别为棱，的中点.（1）求异面直线与所成角的大小；（2）若为线段的中点，试在图中作出过、三点的平面截该棱柱所得的多边形，并求出以该多边形为底，为顶点的棱锥的体积.【答案】（1）；（2）截面见详解，体积为【解析】（1）连接交于点，根据中位线定理找到与的平行线，并找到异面直线与所成角，计算长度，根据余弦定理，可得结果.（2）画出截面，计算四边形的面积，根据/面，可得到面的距离，结合椎体体积公式，可得结果.【详解】（1）连接交于点，连接如图由底面，面，所以，又所以，面所以面，故四边形为矩形，所以共线为的中点，所以/，故异面直线与所成角为，且，分别为棱，的中点所以所以又且所以为等腰直角三角形，故（2）取的中点连接，又为线段的中点，所以/则/，且过、三点的平面截该棱柱所得的多边形为四边形由（1）可知，/且所以四边形为直角梯形，所以又平面，面，所
