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1、第六章 全同粒子体系习题解1求在自旋态中，和的不确定关系：解：在表象中、的矩阵表示分别为 在态中 讨论：由、的对易关系 ， 要求 在态中， 可见式符合上式的要求。2求的本征值和所属的本征函数。 解：的久期方程为 的本征值为。设对应于本征值的本征函数为 由本征方程 ，得 由归一化条件 ，得 即 对应于本征值的本征函数为 设对应于本征值的本征函数为 由本征方程 由归一化条件，得 即 对应于本征值的本征函数为 同理可求得的本征值为。其相应的本征函数分别为 3求自旋角动量方向的投影 本征值和所属的本征函数。 在这些本征态中，测量有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？的平均值是多少？解：在 表象，
2、的矩阵元为其相应的久期方程为 即 所以的本征值为。设对应于的本征函数的矩阵表示为，则由归一化条件，得 可见， 的可能值为 相应的几率为 同理可求得 对应于的本征函数为在此态中，的可能值为 相应的几率为 讨论：算符的本征值为，而z方向为空间的任意方向。现在把z方向特别选为沿方向（这相当于作一个坐标旋转），则的本征值也应为。另外我们知道，本征值和表象的先取无关。这样选择并不影响结果的普遍性。同理的本征值也都是。我们也可以在为对角矩阵的表象中（表象）求本征矢。显然这时的知阵为所以本征矢为注意到本征矢是随着表象选取的不同而改变的。现在是在表象，而上面算出的表象，算出的结果应用所不同，这是合理的。4在表
3、象中，求的本征态，是方向的单位矢。 （解） 方法类似前题，设算符的本征矢是： (1)它的本征值是。又将题给的算符展开： (2)写出本征方程式： (3)根据问题（6）的结论，,对的共同本征矢，运算法则是 ， ， ， ， ， （4）将这些代入（3），集项后，对此两边，的系数： （5）或 （6）（6）具有非平凡解（平凡解 ，）条件是久期方程式为零，即 它的解 （7）时，代入（6）得： （8）（1） 的归一化条件是： 将（8）代入（9），得： 归一化本征函数是： （10）时，的关系是： 归一化本征函数是： （11）是任意的相位因子。本题用矩阵方程式求解：运用矩阵算符： ， ， （12） (13)本征方
4、程式是： (14)的本征矢是： , (15)补白：本征矢包含一个不定的 相位因式，由于可以取任意值，因此的形式是多式多样的，但（15）这种表示法是有普遍意义的。 5.若为泡利矩阵，证明：，并求：（1）在表象中的归一化本征函数；（2）在表象中的归一化本征函数；证：由对易关系 及 反对易关系 ， 得 上式两边乘，得 （1）在表象中，的矩阵是因此的本征值是1，而本征矢为都已归一化。在表象中；设其本征值为l，本征矢为容易求得相应的归一化本征函数为同理，在表象中，设其本征值为，本征矢为，则可求得：相应归一化本征函数为（2）求在表象中。算符，的矩阵形式：在表象中，算符，的矩阵形式为对坐标轴作一旋转，把原来
5、的z轴换成x轴，x轴换成y轴，y轴换成z轴。根据轮换关系，容易得出在表象中，算符，的矩阵形式为：在表象中的本征值和本征矢：设本征值是，则就有 具有非零解的条件是当 时：归一化后得： 进行归一化得在的本征值和本征矢：设的本征值为，则具有非零解的条件是当 时，归一化后得当 时，归一化后得讨论：大家知道，在表象中，和的本征值都是1，现在又证明了，在表象中，算符，和的本征值仍然是1，这个结果充分说明了算符的本征值不随表象变换而改变的规律。在求表象中，的矩阵表示时，我们是利用x，y，z方向本来是任意选择的，可以经过轮换而得出。除此以外，还可以利用第四章第5题的方法，通过表象变换的方法来求出和在表象中的矩
6、阵表示，结果是完全一致的。由于泡利矩阵，的本征值是1，而，因此容易推得，自旋算符和的本征值是，它们也不随表象变换和改变。6设矩阵满足，(1) 求证(2) 在表象中，求出，得矩阵（设无简并）。【解】将式左乘，利用，得 同式右乘，利用，得 相加得，同样，将左乘、右乘前述一式，可得 在用表象时，的本征矢是基矢，它满足本征方程式： (1)但是本征值，从复用运算于（1）得：但，所以 ；假定没有简并态，仅有两个本征值，在自身表象中，其矩阵是对角的，矩阵元是本征值1和-1 （2）设的矩阵 ，将它代入等式简化为，得因此是反对角矩阵： （3）代入条件，有：得 即得到含有一个待定常数的矩阵关于另一矩阵也有类似的计
7、算，由于满足和，因此的矩阵（含有一个未定常数的）写作： （5）待定常数和之间尚需满足题给的约束条件，将它列成矩阵：即,或解出用的项表示：或 7满足下列条件的维矩阵,称为矩阵 试求的一般表示式。【解】设: 则代入题给的第一个条件化成等效的条件同理，代入第二个条件 前列出的八个方程式并非完全独立。容易看出（2）与(3)是复共轭，（6）（7）也是复共轭式，；因此只有六个不相关方程式，因等，又（1）（5）相减，（1）（8）相减，得两个关系式： (9) (10)根据（1）：，因此在不失普遍性的情况下，可以设定以下形式： （11） (12)式中必是实数，而，任意实数得相因子，根据（9）和（10），同样可设
8、： （13） （14）这四个元素满足（1）（4）（5）（8）和（9）（10），但对于（2）或（3），对于（6）或（7）这两个条件的满足，给初相位，一些限制，将,的表达式代入(2)得： （15）如果使用（3）、(6)、(7)诸式，实际上得不到新的关系，又将（15）遍乘得： (16)其次我们使用题给得第三个独立条件，有 （17）将（16）的关系代入（17）得：即 因而有 又从（16）得 ， （19）由此看来，只有两个独立，我们若选用和表示各元素，有89设氢的状态是 求轨道角动量z分量和自旋角动量z分量的平均值； 求总磁矩 的 z分量的平均值（用玻尔磁矩子表示）。解：可改写成从的表达式中可看出的可能
9、值为 0相应的几率为 的可能值为 相应的几率为 10时氢原子处于态忽略自旋轨道相互作用，（1）求能量，轨道角动量，即自旋角动量的可能取值，相应几率及平均值；（2）写出时刻波函数。解：容易验证，波函数是归一化的 （1）能量的可能取值11证明和组成的正交归一系。解： =0同理可证其它的正交归一关系。15一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态和，相应的能量为和。写出体系所有可能的波函数和能量解：体系可能的状态有4个。设两个单粒子态为，则体系可能的状态为 能量 能量 能量 能量 附：（20分）已知氢原子在时处于状态 其中，为该氢原子的第个能量本征态。求能量及自旋分量的取值概率与平均值，写出时的波函数。 解 已知氢原子的本征值为 ， （1）将时的波函数写成矩阵形式 （2）利用归一化条件 （3）于是，归一化后的波函数为 （4）能量的可能取值为，相应的取值几率为 （5）能量平均值为 （6）自旋分量的可能取值为，相应的取值几率为 （7）自旋分量的平均值为 （8） 时的波函数 （9）
