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1、二次函数、二次方程及二次不等式的关系三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法重难点归纳 1 二次函数的基本性质(1)二次函数的三种表示法 y=ax2+bx+c; y=a(xx1)(xx2); y=a(xx0)2+n(2)当a0,f(x)在区间p,q上的最大值M，最小值m,令x0= (p+q)若p,则f(p)=m,f(q)=M; 若px0,则f()=m,f(q)=M
2、;若x0q,则f(p)=M,f()=m; 若q,则f(p)=M,f(q)=m2 二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件(1)方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小af(r)0;(2)二次方程f(x)=0的两根都大于r (3)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内有两根(4)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内只有一根f(p)f(q)0,或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p,q)内成立(5)方程f(x)=0两根的一根大于p,另一根小于q(pq)3 二次不等式转化策略(1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c0的解集是 (,),+a0时，f()
3、f() |+|+|,当a0时，f()|+|;(3)当a0时，二次不等式f(x)0在p,q恒成立或(4)f(x)0恒成立典型题例示范讲解 例1已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=bx，其中a、b、c满足abc,a+b+c=0,(a,b,cR)(1)求证两函数的图象交于不同的两点A、B；(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围例2已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0(1)若方程有两根，其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围 巩固练习 1 若不等式(a2)x2+2(a2)x40对一切
4、xR恒成立，则a的取值范围是( )A(,2B2,2C(2,2D(,2)2.已知函数和为常数）则不论为何值，这两个函数的图像（ ）A只有一个交点 B只有二个交点 C只有三个交点 D只有四个交点3.设时，二次函数的值（ ）AB CmDc4.二次函数=（ ）AB1CD15.若二次函数的变化范围是（ ）A0S2B0S3C1S2D1S0),若f(m)0,则实数p的取值范围是_8 二次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意实数x恒有f(2+x)=f(2x),若f(12x2)0,求证(1)pf()0,则f(0)0,而f(m)0,m(0,1),m10,f(m1)0答案A7 解析 只需f(1)=2p23p+90
5、或f(1)=2p2+p+10即3p或p1p(3, )答案 (3，）8 解析 由f(2+x)=f(2x)知x=2为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小，|12x22|1+2xx22|,2x0答案2x09解：(1) （1分）由y=0 知（3分）（2分）又x1x10由AB2=12CO+1得 9m2+16m=24m+1解之得m=1（2分）(2)由S=5 知y= 2（2分）（2分）10 证明 (1),由于f(x)是二次函数，故p0,又m0,所以，pf()0(2)由题意，得f(0)=r,f(1)=p+q+r当p0时，由(1）知f()0若r0,则f(0)0,又f()0,所以f(x)=0在(0，)内有解;若r0,则f(1)=p+q+r=p+(m+1)=()+r=0,又f()0,所以f(x)=0在(,1)内有解当p0时同理可证学生练习：例1关于的方程有一根在0与1之间，另一根大于2，求实数的取值范围 例2已知方程在上有实根，求实数的取值范围例3求实数的取值范围使至少有一个正根例4关于的方程至少有一个小于的实数根，求实数的取值范围答案：1. 2. 3. 4.
