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1、备战2017高考数学（精讲+精练+精析）专题10.3抛物线试题（江苏版）（含解析）专题3 抛物线（理科）【三年高考】1. 【2016年高考四川理数改编】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线 上任意一点，M是线段PF上的点，且=2,则直线OM的斜率的最大值为【答案】【解析】试题分析：设（不妨设），则由已知得，考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点的坐标，利用向量法求出点的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值，因此我们把斜率用参数表示出后，可根据表达式形式选用函数，或不等式的知识求出最值，本题采
2、用基本不等式求出最值2【2016高考浙江理数】若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_【答案】【解析】试题分析：考点：抛物线的定义【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般会想到转化为抛物线上的点到准线的距离解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到轴的距离3【2016高考新课标1卷改编】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=,|DE|=,则C的焦点到准线的距离为【答案】4考点：抛物线的性质.【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的
3、准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.4【2016高考天津理数】设抛物线，（t为参数，p0）的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C（p,0），AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|，且ACE的面积为，则p的值为_.【答案】考点：抛物线定义【名师点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理2若P(x0，y0)为抛物线y22px(p0)上一点，由定义易得|PF|x0；若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为|AB|x1x2p，x1x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准
4、方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到5【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点，在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是_.【答案】【解析】.6.【2015高考上海，理5】抛物线（）上的动点到焦点的距离的最小值为，则 【答案】【解析】因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即7.【2015高考陕西，理14】若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则 【答案】8.【2015高考四川，理10】设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线
5、l恰有4条，则r的取值范围是_.【答案】【解析】显然当直线的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线的斜率存在时，设斜率为.设，则，相减得.由于，所以，即.圆心为，由得，所以，即点M必在直线上.将代入得.因为点M在圆上，所以.又（由于斜率不存在，故，所以不取等号），所以.9.【2015高考新课标1，理20】在直角坐标系中，曲线C：y=与直线(0)交与M,N两点，（）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；（）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPM=OPN？说明理由.【解析】（）由题设可得，或，.，故在=处的到数值为，C在处的切线方程为，即.故在=-处的到数值为-，C在处的切线方程
6、为，即. 故所求切线方程为或. （）存在符合题意的点，证明如下： 设P（0，b）为复合题意得点，直线PM，PN的斜率分别为. 将代入C得方程整理得. . =. 当时，有=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补， 故OPM=OPN，所以符合题意. 10.【2014新课标1，理10】.已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个焦点，若，则=_.【答案】3【解析】过Q作QM直线L于M，又，由抛物线定义知.11.【2014新课标2，理10】设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为_. 【答案】12. 【2014湖南，理15】如图
7、4正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为,(), 原点O为AD的中点，抛物线 经过C.F两点，则_.【答案】【解析】由题可得,则,故填.13.【2014全国大纲，理21】已知抛物线C：的焦点为F，直线与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.（I）求C的方程；（II）过F的直线与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线与C相较于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求的方程.【解析】（I）设，代入，得由题设得，解得（舍去）或，C的方程为；（II）略【2017年高考命题预测】纵观2016各地高考试题，看出，一方面以选择题、填空题的形式考查抛物线的定义、标准方程及简单几何性质等基础知识，另一方
8、面以解答题的形式考查抛物线的概念和性质、直线与抛物线的位置关系的综合问题，着力于数学思想方法及数学语言的考查，题目的运算量一般不是很大，属于中档题，分值为5-12分2017年对本节内容的考查仍将以求抛物线的方程和研究抛物线的性质为主，三种题型均有可能，与向量等知识综合命题的趋势较强，分值仍为5-12分，故在备考时应加强对概念和性质的理解和掌握，能够根据抛物线的标准方程得出几何性质.【2017年高考考点定位】高考对抛物线的考查有三种主要形式：一是考查抛物线的定义；二是考查抛物线的标准方程与几何性质；三是考查直线与抛物线的位置关系，从涉及的知识上讲，常平面向量、函数、方程、不等式等知识相联系，试题
9、多为容易题和中档题.【考点1】抛物线的定义【备考知识梳理】1.抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(定点F不在定直线l上)的距离的比等于1的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.【规律方法技巧】1. 抛物线的定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线l(抛物线的准线)；一个定值1(点M与定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于1)2. 常常利用抛物线的定义将抛物线上一点到焦点的焦半径问题与焦点到准线的距离问题互相转化.【考点针对训练】1.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于，两点（点在轴上方）， 【答案】3
10、【解析】由题可知，设，于是根据抛物线的简单性质有，又因为，可得，于是.2.已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个焦点，若，则=_.【答案】3【考点2】抛物线的标准方程与几何性质【备考知识梳理】1. 抛物线的标准方程与几何性质焦点在正半轴上焦点在负半轴上焦点在正半轴上焦点在正半轴上标准方程（）（）（）（）图形性质顶点（0,0）对称轴轴轴焦点（，0）（-，0）（0，）（0，-）准线=-=-=范围0，R0，R0，R0，R离心率=1【规律方法技巧】1.的几何意义：是焦点到准线的距离，故恒为正.2.焦点在轴上的抛物线的标准方程可以统一写成；焦点在轴上的抛物线的标准方程可以统一写成.3.焦
11、点的非零坐标是一次项系数的，准线方程中的常数为一次项系数的-.4.求抛物线的标准方程（1）定义法：若某曲线（或轨迹）上任意一点到定点的距离与到定直线的距离相等，符合抛物线的定义，该曲线是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线，从而求出定点到定直线的距离即为，写出抛物线的标准方程，（2）待定系数法，用待定系数法求抛物线标准方程分三步：判定是否在原点；确定焦点在哪个半轴上，确定标准方程类型；根据条件列出关于的方程，解出值，即可写出标准方程.5.抛物线（）上点的坐标可设为（），在计算时，可以降低计算量.【考点针对训练】1.已知点，抛物线（）的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，若则的值等于_
12、.【答案】4【解析】，2.已知点 F 是抛物线 y 2 = 4x的焦点，M、N 是该抛物线上两点，| MF | + | NF | = 6，则 MN中点的横坐标为_.【答案】2【解析】由抛物线定义| MF | + | NF | =6，所以MN中点的横坐标为【考点3】直线与抛物线的位置关系【备考知识梳理】设双曲线的方程为（），直线，将直线方程与抛物线方程联立，消去y得到关于x的方程.(1) 若0，当0时，直线与抛物线有两个交点.当=0时，直线与抛物线有且只有一个公共点，此时直线与抛物线相切. 当0时，直线与抛物线无公共点.（2）当=0时，直线与抛物线只有一个交点，此时直线与抛物线的对称轴平行.【规
13、律方法技巧】1.已知抛物线y22px(p0)，过其焦点的直线交抛物线于A、B两点(如右图所示)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有以下结论：(1)|AB|x1x2p，或|AB|(为AB所在直线的倾斜角)；(2)x1x2；(3)y1y2p2.（4）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.2.过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p. 3. 直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，则一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，常设出交点坐标，用根与系数关系将横坐标之和与之积表示出来，这是进一步解题的基础4直线ykxb(k0)与圆锥曲线相交于A(x1，y1
14、)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB| |x1x2| |y1y2|.5对中点弦问题常用点差法和参数法.【考点针对训练】1.已知抛物线y2 =8x的焦点为F，直线y=k（x+2）与抛物线交于A，B两点，则直线FA与直线FB的斜率之和为_.【答案】02.已知抛物线：，圆：（其中为常数，）过点（1，0）的直线交圆于、D两点，交抛物线于、两点，且满足的直线只有三条的必要条件是_ 【答案】【解析】与抛物线交于，与圆交于，满足题设.设直线： （1）代入，得，把（1）代入得，设，即，即，即，即时，仅有三条.考查四个选项，只有中的区间包含了，即是直线仅有三条的必要条件 【两年模拟详解析】 1. 【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学】在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，若曲线经过点，则其焦点到准线的距离为 .【答案】【解析】由题意设抛物线方程为，又因为过点，则p=即为焦点到准线距离2【江苏省苏北三市2016届高三最后一次模拟考试】已知点为抛物线的焦点，该抛物线
