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1、高一数学平面的基本性质；空间两条直线位置关系苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：平面的基本性质；空间两条直线位置关系二、教学目标：1. 了解空间图形的组成要素：点、线、面；理解并掌握公理1、2、3及其推论的意义，并能用于进行简单的证明；能正确表示空间点、线面之间的关系。2. 会证明一些简单的线面关系；掌握确定两平面交线的方法。3. 掌握空间两条直线位置关系。4. 理解异面直线所成角的定义、范围；掌握把异面直线所成角转化为平面角的思维方法；能解决一些简单的异面直线所成角问题。三、知识要点：（一）平面的基本性质1. 平面（1）平面是无限延展的面，是没有边界的。（2）几何画法：通常用平行四边形来表
2、示平面。（3）表示方法：如平面a，平面AC，平面ABCD （4）相交平面的画法：画相交平面时，虚线实线要清楚。2. 点、线、面的位置关系（集合语言表示法）空间点、线、面的表示：空间是以点为基本元素，那么直线、平面可以看成是点的集合，通常点用大写字母A、B、C表示，直线用小写字母a,b,c表示，平面用字母a表示。（1）点A 在平面a内，符号表示（2）点 在直线l上，符号表示（3）点B 在平a外， 符号表示（4）点Q不 在直线l上，符号表示（5）直线l在平面a 内,符号表示 （6）直线a与b 相交于点A, 符号表示（7）直线l不在平面 a 内，符号表示 3. 平面的基本性质要把一根木条固定在墙上需
3、要钉几个钉子？为什么？这个例子说明了什么？公理1：如果一条直线上有两个点在平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内，这时称直线在平面内。公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它的公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线。问题：（1）测量架有几条腿？这说明了什么？（2）两个点能确定一个平面吗？任意三点能确定一个平面吗？公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面 。推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面 。三个公理的意义：1. 公理1给出了证明直线在平面内的方法
4、；2. 公理2给出了确定两平面交线的方法，也是以后证明三线共点的方法；3. 公理3及推论给出了确定平面的基本原则。（二）空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系：平行，相交，异面异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线为异面直线（1）从公共点的数目来看可分为： 有且只有一个公共点两直线相交 没有公共点两平行直线或两直线为异面直线（2）从平面的性质来讲可分为：不在同一平面内两直线为异面直线1. 平行直线公理4：平行于同一条直线的两条直线平行定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。已知：BAC和BAC的边ABAB，ACAC，并且方向相同。求证：BACBAC
5、. 证明：如图，在AB、AB，AC、AC上分别取ADAD，AEAE，连结AA、DD、EE，DE、DE。ABAB， ADADAADD是平行四边形根据公理4，得：DDEE又可得：DDEE四边形EEDD是平行四边形EDED，可得：ADEADEBACBAC2. 异面直线（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线为异面直线（2）画法：（3）异面直线判定方法：间接法：根据定义，一般用反证法。直接法：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线异面。（如图）（4）异面直线的角定义：对于两条异面直线a,b，过空间任意一点O，作直线aa, ,bb，我们把直线a和b所成的锐角或直角称为两条异面直线所成
6、角。异面直线所成角的范围是（0，）垂直：若两条异面直线所成角为90，则称两直线垂直。【典型例题】例1：例2：如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，P为棱B1B的中点，画出由A，C，P 三点确定的平面与长方体表面的交线。例3：已知四边形ABCD是空间四边形（四个顶点不共面的图1-41四边形），E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD上的点，且，求证：四边形EFGH是梯形。分析：要证明四边形EFGH是梯形，即要证明四边形EFGH的一组对边平行，另一组对边不平行；或证明一组对边平行且不相等。证明：如图，连结BDEH是ABD的中位线根据公理4，EHFG又FGEH四边形EFGH是梯
7、形例4：在下面的图中直线B1B与AC所成角是多少度？为什么？直线B1B与AD所成角是多少度？为什么？答：都是；原因略。例5：D为三角形ABC所在平面外一点，E，F分别为棱AD、BC的中点，若EF=，AC=BD=2，求直线AC与BD所成角。分析：要求两异面直线所成角，首先要把它转化为一个平面角，其基本方法是什么？（平移） 如何平移呢？从定义看，过空间任一点平移皆可，你打算选哪一点？为什么？从这一过程中我们得到什么？既然可以任选一点，我们常常选取一个特殊点，这样有利于计算。略解：取AB中点M，连结EM、FM，E，F分别为棱AD、BC的中点，EM=FM=1，EMF=90，EMBD，FMAC，直线AC
8、与BD所成角为90【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1、点P在直线上，而直线在平面内，用符号语言表示为 （ ） A. P B. P C. P D. P2、下列条件可以确定一个平面的是 （ ） A. 两条直线 B. 相交于同一点的三条直线 C. 一点和一条直线 D. 三角形的三个顶点3、下列推理，错误的是 （ ） A. A，A，B，B B. A，A，B，B=AB C. ，AA D. A，B，C；A，B，C；且A ，B，C，不共线与重合4. 一条直线和两条异面直线b、c都相交，那么它们可以确定的平面个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 45. 空间两条互相平行的直线指的是（ ）
9、A. 在空间没有公共点的两条直线B. 分别在两个平面内的两条直线C. 分别在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线D. 在同一平面内且没有公共点的两条直线6. 分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系为（ ）A. 一定平行B. 一定异面C. 一定相交D. 一定不平行7. 在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为B1C1的中点，那么直线CP与B1 D1所成角的余弦值是 （ ）A. B. C. 二、填空题1. （1）空间中有四个点，若其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面个数是_。（2）两个平面可以把空间分成_部分；三个平面可以把空间分成_部分。（3）一条直线与两条异面直线均相交
10、，一共可以确定_个平面。2. 判断下列说法是否正确（1）若a和b是异面直线，ac，则b和c也是异面直线（ ）（2）垂直于同一条直线的两条直线平行（ ）（3）两条平行线中的一条垂直于某条直线，则另一条也垂直于这条直线（ ）（4）经过直线外一点有无数条直线和这条直线垂直（ ）（5）若a和b，a和c都是异面直线，并且它们所成角相等，那么bc（ ）三、解答题1. 如图，正方体ABCDA1B1C1D的棱长为，求下列异面直线所成角的大小：（1）AB与B1C；（2）A1B与CC1；（3）A B1与BC1。2. 如图，a、b是异面直线，E、F分别是线段AC和BD的中点，判断EF和a及EF和b的位置关系。3.
11、空间四边形ABCD，E、F、G、H分别在空间四边形的四条边上，EH与FG交于点O，求证：B、D、O三点共线。4. 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M、N、P分别在如图的位置，请画出过M、N、P的截面。试题答案一、选择题1. D 2. D 3. C 4. B 5. D 6. D 7. B二、填空题1. （1）1或4 （2）3或4 ； 4、6、7、8 （3）22. （1） （2） （3） （4） （5）三、解答题1. （1） （2） （3）2. 提示：EF和a及EF和b均为异面直线。 用“反证法”，若EF和b不是异面直线，则它们在同一平面内，则直线CE、CF都在内，所以A、B也在内，可推得在内，与已知条件a、b是异面直线矛盾。3. 证明：EH与FG交于点O O直线EH，EH面ABD， O面ABD 同理O面BCD，O是面ABD与面BCD的公共点 又面ABD面CBD=直线BD O直线BD O、B、D三点共线。4.
