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1、绝密 启用前 2020 届全国 100 所名校最新高考模拟示范卷高三数学 理 五 试题 注意事项 1 答题前填写好自己的姓名 班级 考号等信息 2 请将答案正确填写在 答题卡上 一 单选题 1 已知集合 2 20Ax xx 21 Bxx 则ABU A 12 xx剟 B 22 xx C 21 xx D 22 xx 答案 B 化简集合A 按照并集定义 即可求解 解 12 21ABxxxx 22 ABxx 故选 B 点评 本题考查集合间的运算 属于基础题 2 i是虚数单位 2 1 i z i 则 z A 1 B 2 C 2 D 2 2 答案 C 由复数除法的运算法则求出z 再由模长公式 即可求解 解
2、 由 2 2 1 1 2 1 ii ziz i 故选 C 点评 本题考查复数的除法和模 属于基础题 3 1777 年 法国科学家蒲丰在宴请客人时 在地上铺了一张白纸 上面画着一条条等 距离的平行线 而他给每个客人发许多等质量的 长度等于相邻两平行线距离的一半的 针 让他们随意投放 事后 蒲丰对针落地的位置进行统计 发现共投针2212 枚 与直 线相交的有704 枚 根据这次统计数据 若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针 则针落地后与直线相交的概率约为 A 1 2 B 3 C 2 D 1 答案 D 根据统计数据 求出频率 用以估计概率 解 7041 2212 故选 D 点评 本题以数学文化为背
3、景 考查利用频率估计概率 属于基础题 4 函数 1 f xax x 在 2 上单调递增 则实数 a的取值范围是 A 1 4 B 1 4 C 1 D 1 4 答案 B 对a分类讨论 当0a 函数 f x 在 0 单调递减 当0a 根据对勾函数的性 质 求出单调递增区间 即可求解 解 当0a时 函数 1 f xax x 在 2 上单调递减 所以0a 1 f xax x 的递增区间是 1 a 所以 1 2 a 即 1 4 a 故选 B 点评 本题考查函数单调性 熟练掌握简单初等函数性质是解题关键 属于基础题 5 下列命题中是真命题的是 1x 是 2 1x 的充分不必要条件 命题 0 x 都有sin1
4、x 的否定是 0 0 x 使得 0 sin1x 数据 128 xxxL的平均数为6 则数据 128 25 25 25xxxL的平均数是6 当 3a 时 方程组 2 3210 6 xy a xya 有无穷多解 A B C D 答案 A 根据充分不必要条件定义和不等式关系 即可判定 的真假 根据全称命题的否定形式 可判定 的真假 根据数据线性关系的平均数性质 可判定 的真假 将 3a 代入 方程组 即可判定方程组解的情况 解 1x 则有 2 1x 但 2 1x 则1x或1x 所以 1x 是 2 1x 的充分不必要条件 所以 正确 命题 0 x 都有sin1x 的否定是 0 0 x 使得 0 sin
5、1x 所以 正确 由 6E X 可得 25 2 52657EXE X 故 错误 当3a时 2 6a xya即为 963xy 即3210 xy 所以方程组 2 3210 6 xy a xya 有无穷多解 正确 故选 A 点评 本题考查命题真假的判定 涉及到充分不必要条件的判定 命题的否定 平均数的性质 方程组解的讨论 属于基础题 6 已知 1 5 455 log5 log 2abc 则 a b c的大小关系为 A abcB a cb C b ac D c ba 答案 A 根据指数函数的单调性 可得 1 5 51a 再利用对数函数的单调性 将 b c与 1 1 2 对 比 即可求出结论 解 由题知
6、 1 0 5 44 1 551 1log5log 2 2 ab 55 1 log 2log5 2 c 则 abc 故选 A 点评 本题考查利用函数性质比较大小 注意与特殊数的对比 属于基础题 7 在 ABCV 中 2 5 sin 1 4 2 25 C BCAB 则ABCV的面积为 A 2 B 3 2 C 4 D 5 答案 A 根据已知求出cos sinCC 再由余弦定理求出b 根据面积公式即可求解 解 234 cos12sin sin 1 4 2 255 C CCac 由余弦定理可得 222 2coscababC 2 631 310 5 0 5 55 bbbbb或 31 5 b 舍去 114
7、sin1 52 225 ABC SabC 故选 A 点评 本题考查三角形面积 利用余弦定理解三角形是关键 属于基础题 8 我国古代数学名著 九章算术 中记载了公元前344 年商鞅督造一种标准量器 商鞅铜方升 如图是一个这种商鞅铜方升的三视图 若x是方程 1 35 22 35 x x的根 则该商鞅铜方升的俯视图的面积是正视图面积的 A 1 5 倍B 2 倍C 2 5 倍D 3 5 倍 答案 C 令 1 35 22 35 1 35 0 x ffxx 再结合 f x 在R的单调性 可求出x 根据 三视图的对应长度关系 即可求解 解 1 35 22 35 x x化为 1 35 22 350 x x 令
8、 1 35 22 35 1 35 0 x ffxx 且 f x 在R上为增函数 方程 1 35 22 35 x x有唯一解1 35x 俯视图的面积为 1 3513 5 41 35 13 5 正视图面积为5 4 所以俯视图的面积是正视图面积的2 5 倍 故选 C 点评 本题考查方程的解与函数零点的关系 三视图间的关系 考查数形结合思想 属于基础 题 9 设函数 sin 0 5 f xx 若 f x 在 0 2 上有且仅有5 个零点 则 的取值范围为 A 12 29 510 B 12 29 5 10 C 12 29 510 D 12 29 510 答案 A 由02x求出 5 x范围 结合正弦函数的
9、图象零点特征 建立 不等量关系 即可求解 解 当 0 2 x 时 2 555 x fx在0 2上有且仅有5 个零点 526 5 1229 510 故选 A 点评 本题考查正弦型函数的性质 整体代换是解题的关键 属于基础题 10 已知曲线 2 4xy 动点P在直线 3y 上 过点P作曲线的两条切线12 l l 切 点分别为 A B 则直线 AB截圆 22 650 xyy所得弦长为 A 3B 2 C 4 D 2 3 答案 C 设 22 12 12 3 44 xx A xBxP t 根据导数的几何意义 求出切线斜率 进而得到切 线方程 将P点坐标代入切线方程 抽象出直线 AB方程 且过定点为已知圆的
10、圆心 即可求解 解 圆 22 650 xyy可化为 22 3 4xy 设 22 12 12 3 44 xx A xBxP t 则 12 ll的斜率分别为 12 12 22 xx kk 所以 12 l l 的方程为 2 11 11 24 xx lyxx 即 1 1 2 x yxy 2 22 22 24 xx lyxx 即 2 2 2 x yxy 由于 12 l l都过点 3 P t 所以 1 1 2 2 3 2 3 2 x ty x ty 即 1122 A x yB xy都在直线3 2 x ty上 所以直线 AB的方程为3 2 x ty 恒过定点 0 3 即直线 AB过圆心 0 3 则直线 AB
11、截圆 22 650 xyy所得弦长为4 故选 C 点评 本题考查直线与圆位置关系 直线与抛物线位置关系 抛物线两切点所在直线求解是解 题的关键 属于中档题 11 对于函数 f x 若 12 x x满足 1212 fxfxfxx 则称12 x x为函数 f x 的一对 线性对称点 若实数a与b和a b与c为函数 3x f x的两对 线性对称 点 则c的最大值为 A 3 log 4 B 3 log 41C 4 3 D 3 log 4 1 答案 D 根据已知有 333 bca b ca 可得 1 31 31 c a b 只需求出 3 ab 的最小值 根据 333 a bab 利用基本不等式 得到 3
12、 a b 的最小值 即可得出结论 解 依题意知 a与b为函数 3x fx的 线性对称点 所以 3332 332 3 a bababa b 故 34 ab 当且仅当ab时取等号 又a b与c为函数 3 x f x的 线性对称点 所以333 bca b ca 所以 314 31 31313 a b c a ba b 从而c的最大值为 3 log 41 故选 D 点评 本题以新定义为背景 考查指数函数的运算和图像性质 基本不等式 理解新定义含义 正确求出c的表达式是解题的关键 属于中档题 12 在正方体 1111 ABCDA B C D 中 如图 M N分别是正方形 11 ABCD BCC B的中
13、心 平面 1 D MN 将正方体分割为两个多面体 则点C所在的多面体与点1 A所在的多面 体的体积之比是 A 2 3 B 1 2 C 2 5 D 1 3 答案 B 11 1 2 BNADBNAD 延长 1 D N 与AB的延长线交于点F BN为1 AD F 的中 位线 则 1BF 连FM并延长分别交 BC AD于 P Q 连 1 D Q PN并延长交 11 B C与 H 平面四边形1 D HPQ 为所求的截面 进而求出 P Q H 在各边的位置 利用割补法 求出多面体 11 QPHDC CD 的体积 即可求出结论 解 设正方体的棱长为1 连接 11 BCAD 则 11 1 2 BNADBNAD
14、 延长 1 D N 与 AB的延长线交于点F 则BN为1 AD F的中位线 1BFAB 连接FM并延长 交BC于点P 交AD于点Q 取AB中点G 连接 MG 则 2 3 BPBF GMFG 12 2 33 BPAQBP 连接PN 并延长交11 B C于点H 连接 1 D H 则 1 1 3 HC 平面 1 HD QP即为截面 取 PC中点E 连接1 C E QE 则点C所在的多面体的体积 1111 1 11111 1111 23233 D DQC CEC D HEQP VVV 点 1 A所在的多面体的体积 1 2 2 121 1 332 V V V 故选 B 点评 本题考查直线与平面的交点及多
15、面体的体积 确定出平面与正方体的交线是解题的关 键 考查直观想象 逻辑推理能力 属于较难题 二 填空题 13 61 2 x x 的展开式中常数项是 答案 160 试题分析 常数项为 333 46 1 2 160TCx x 考点 二项展开式系数问题 14 已知平面向量 a r 与 b r 的夹角为 3 3 1 a r 1b r 则 2 ab rr 答案 13 根据已知求出 b r 利用向量的运算律 求出 2 2 ab rr 即可 解 由 3 1 a r 可得 22 3 1 2a r 则 cos1 3 a bab r rrr 所以 22 2 2 2 4413ababaa bb rrrrrr rr
16、故答案为 13 点评 本题考查向量的模 向量的数量积运算 考查计算求解能力 属于基础题 15 已知函数 ln2f xxxa在点 1 1 f 处的切线经过原点 函数 f x g x x 的 最小值为 m 则2ma 答案 0 求出 1 1 fxff 求出切线点斜式方程 原点坐标代入 求出a的值 求 gx 求出单调区间 进而求出极小值最小值 即可求解 解 1lnfxx 1 1f 1 2fa 切线 1 l的方程 21yax 又 1 l过原点 所以 21a ln1fxxx 1 lng xx x 22 111 x g x xxx 当 0 1 x时 0g x 当 1 x时 0gx 故函数 f x g x x 的最小值 1 1g 所以 1 20mma 故答案为 0 点评 本题考查导数的应用 涉及到导数的几何意义 极值最值 属于中档题 16 设 12 FF 为双曲线 22 22 1 0 0 xy Cab ab 的左 右焦点 过左焦点1 F 且斜率为 15 7 的直线与C在第一象限相交于一点P 若 12 F PF 是等腰三角形 则C的离心率 e 答案 2 或 4 3 设直线倾斜角为 则 15 tan 7
